Калкулатор за комбинации с повторение

В сладкарница имат осем вкуса сладолед и ти искаш три топки. Можеш да вземеш три различни, две шоколадови и една с шам-фъстък или спокойно три ванилови. Редът няма значение, фунийка с шоколад отгоре е все същият сладолед. Колко са възможностите? Точно това пресмятат комбинациите с повторение: по колко начина могат да се изберат k неща от n вида, когато видовете могат да се повтарят.

Ако видовете не можеха да се повтарят, щеше да става дума за обикновени комбинации и щеше да е достатъчен калкулаторът за биномен коефициент.

Как се пресмята

Калкулаторът пресмята по формулата

${\overset{―}{C}}_{n}^{k} = (\binom{n + k - 1}{k})$

Трите топки от осем вкуса си представяме като редица от три кръгчета и седем преградки, които разделят вкусовете. Кръгчетата преди първата преградка са ванилия, между първата и втората – шоколад и така нататък. Всеки избор на сладолед съответства на едно разположение, така че остава да преброим по колко начина могат от десет места да се изберат три за кръгчетата:

${\overset{―}{C}}_{8}^{3} = (\binom{8 + 3 - 1}{3}) = (\binom{10}{3}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$

Трите топки от осем вкуса можеш да получиш по 120 начина. Подробното извеждане с примера за купуване на бутилки бира за излет ще намериш в статията Комбинации с повторение.