Kalkulačka: kombinace s opakováním

V cukrárně mají osm příchutí zmrzliny a vy si chcete dát tři kopečky. Můžete si vzít tři různé, dva čokoládové a jeden pistáciový, nebo klidně tři vanilkové. Na pořadí nezáleží, kornout s čokoládou nahoře je pořád tatáž zmrzlina. Kolik je možností? Přesně to počítají kombinace s opakováním: kolika způsoby jde vybrat k kusů z n druhů, když se druhy smějí opakovat.

Kdyby se druhy opakovat nesměly, šlo by o obyčejné kombinace a stačila by kalkulačka kombinačního čísla.

Jak se to počítá

Kalkulačka počítá podle vzorce

$$C^{\prime }(k,n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$$

Tři kopečky z osmi příchutí si představíme jako řadu tří koleček a sedmi přepážek, které oddělují příchutě. Kolečka před první přepážkou jsou vanilka, mezi první a druhou čokoláda a tak dál. Každý výběr zmrzliny odpovídá jednomu rozmístění, takže stačí spočítat, kolika způsoby jde z deseti míst vybrat tři pro kolečka:

$$C^{\prime }(3,8)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8+3-1}{3})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

Tři kopečky z osmi příchutí můžete složit 120 způsoby. Podrobné odvození s nákupem lahváčů na čundr najdete v článku Kombinace s opakováním.