Калькулятор: комбінації з повтореннями

У кондитерській є вісім смаків морозива, а ти хочеш три кульки. Можна взяти три різні, два шоколадні й один фісташковий, або й три ванільні. Порядок не має значення, ріжок із шоколадом зверху — це все те саме морозиво. Скільки є варіантів? Саме це рахують комбінації з повтореннями: скількома способами можна вибрати k штук із n видів, якщо види можна повторювати.

Якби види повторювати було не можна, це були б звичайні комбінації, і вистачило б калькулятора біноміального коефіцієнта.

Як це обчислюється

Калькулятор рахує за формулою

$${\bar{C}}_n^k=C_{n+k-1}^k$$

Три кульки з восьми смаків уявімо як ряд із трьох кружечків і семи перегородок, які розділяють смаки. Кружечки перед першою перегородкою — ваніль, між першою і другою — шоколад, і так далі. Кожен вибір морозива відповідає одному розміщенню, тож достатньо порахувати, скількома способами з десяти позицій можна вибрати три для кружечків:

$${\bar{C}}_8^3=C_{8+3-1}^3=C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

Три кульки з восьми смаків можна скласти 120 способами. Докладне виведення з прикладом закупівлі напоїв на пікнік знайдеш у статті Комбінації з повтореннями.