Calculator: combinări cu repetiție

Într-o gelaterie sunt opt arome de înghețată și tu vrei trei globuri. Poți lua trei arome diferite, două de ciocolată și una de fistic sau, pur și simplu, trei de vanilie. Ordinea nu contează, cornetul cu ciocolată deasupra este tot aceeași înghețată. Câte posibilități sunt? Exact asta numără combinările cu repetiție: în câte moduri poți alege k bucăți din n tipuri, când tipurile se pot repeta.

Dacă tipurile nu s-ar putea repeta, ar fi vorba de combinări obișnuite, iar atunci ar ajunge calculatorul numărului de combinări.

Cum se calculează

Calculatorul folosește formula

$${\bar{C}}_n^k=C_{n+k-1}^k$$

Trei globuri din opt arome le putem vedea ca un șir de trei cerculețe și șapte separatoare, care despart aromele. Cerculețele dinaintea primului separator sunt vanilia, cele dintre primul și al doilea separator ciocolata și tot așa mai departe. Fiecare alegere de înghețată corespunde unei astfel de așezări, deci trebuie doar să numărăm în câte moduri putem alege trei locuri din zece pentru cerculețe:

$${\bar{C}}_8^3=C_{8+3-1}^3=C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

Trei globuri din opt arome se pot combina deci în 120 de moduri. Deducerea detaliată, cu exemplul cumpărării de sticle de bere pentru o excursie, o găsești în articolul Combinări cu repetiție.