計算ツール：誕生日のパラドックス

クラスに23人の子どもがいます。少なくとも2人の誕生日が同じである確率はどれくらいでしょうか。多くの人は数パーセントくらいだと予想しますが、実際は半分を超えます。これを誕生日のパラドックスといいます。本当は矛盾ではなく、直感がはずれるだけです。1人をほかの人と比べるのではなく、全員をそれぞれほかの全員と比べることになるので、クラスの中には2人組が253組もできます。

計算ツールは、1年を365日とし、どの日に生まれる人の数も同じだと考えて計算します。

計算のしくみ

計算ツールは、次の公式で計算します。

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

ここで、n は人数です。

少なくとも2人が一致する場合を直接数えるのは大変です。2人が一致することも、3人が一致することも、2組の異なる2人組が一致することもあるからです。そこで、余事象、つまり全員の誕生日がちがう日である確率を求めます。1人目の誕生日はどの日でもかまいません。2人目は残りの364日のどれか、3人目は363日のどれかでなければならず、23人目は343日のどれかになります。

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\fallingdotseq 0.4927$$

これを1から引きます。

$$P=1-0.4927=0.5073$$

23人の中に誕生日が同じ2人がいる確率は、約50.73%です。これとはまったく別の問題が、だれかが自分と同じ誕生日かどうかです。ほかの22人のそれぞれが自分とちがう日に生まれている確率は $\frac{364}{365}$ なので、確率は $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\fallingdotseq 5.86\mathrm{\%}$ しかありません。