Ismétléses kombinációk (számológép)

A cukrászdában nyolcféle fagylalt van, te pedig három gombócot szeretnél enni. Vehetsz három különbözőt, két csokoládét és egy pisztáciát, vagy akár három vaníliát. A sorrend nem számít: ha a csokoládé van felül vagy alul, ugyanaz a fagylalt. Hány lehetőség van? Pontosan ezt számolják az ismétléses kombinációk: hányféleképpen lehet kiválasztani k darabot n fajtából, ha a fajták ismétlődhetnek.

Ha a fajták nem ismétlődhetnének, sima kombinációkról lenne szó, és elég volna a binomiális együttható számológépe.

A számítás menete

A számológép a következő képlet szerint számol:

$$C^{\prime }(k,n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$$

Három gombócot nyolc ízből úgy képzelhetünk el, mint egy sort három körből és hét elválasztóból. Az elválasztók között lévő körök jelölik az ízeket: az első elválasztó előtti körök a vaníliát, az első és a második közöttiek a csokoládét, és így tovább. Minden fagylaltválasztás egy ilyen sornak felel meg, ezért azt kell megszámolni, hogy tíz hely közül hányféleképpen lehet kiválasztani három helyet a köröknek:

$$C^{\prime }(3,8)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8+3-1}{3})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

Három gombócot nyolc ízből tehát 120-féleképpen állíthatsz össze. A részletes levezetést és a túrára vett sörösüvegek példáját az ismétléses kombinációk cikk tartalmazza.