円

円とは、平面上で、ある点（円の中心）から等しい距離にあるすべての点の集合です。円は2次曲線の1つでもあります。

円の各部分

円の図を見てみましょう。

円は、ふつう小文字 k や l で表します。

• どの円にも中心があり、O で表します。
• 円上のすべての点は、中心 O から等しい距離にあります。この距離を円の半径といい、r で表します。図では線分 AO です。
• 円上の異なる2点を結ぶ線分を弦といいます。図では線分 FG です。
• 中心 O を通る弦を円の直径といい、d で表します。2r = d が成り立ちます。

また、円の内部と外部という言い方もします。内部とは、中心からの距離が半径より小さいすべての点の集合です。外部とは、中心からの距離が半径より大きいすべての点です。円周とその内部を合わせると、内部を含めた円になります。（日本語では、線としての円（円周）も、内部を含めた円も、どちらも「円」と呼びます。区別が必要なときは「円の内部」のようにいいます。）

円周の長さと面積

円の直径と円周の長さには、どんな関係があるでしょうか。円周の長さは直径の何倍でしょうか。円の直径をはかり、それから円周の長さをはかってみると、およそ3倍だとわかります。もっと正確には 3.1415 倍、さらに正確には π 倍です。

π という数を円周率といい、「パイ」と読みます。円周率は無理数、つまり循環しない無限小数です。そのため、円の直径がある整数だとわかっていても、円周の長さを完全に正確に求めることはできません。ただし、ふだんの生活では、だいたいの値がわかれば十分です。

円周の長さの公式は次のとおりです。

$$\ell =\pi d=2\pi r$$

円の面積の公式は次のとおりです。

$$S=\pi r^2$$

2つの円の位置関係

• 同心円は、中心 O が共通の円です。 中心が共通でない円どうしでは、中心を結ぶ線分を中心線といいます。

• 円 k₁ が円 k₂ の外部にあり、共有点がない。

• 円 k₁ が円 k₂ の外部にあり、1点で接している（外接）。

• 2つの円が2点で交わっている。

• 円 k₁ が円 k₂ の内部にあり、1点で接している（内接）。

• 円 k₁ が円 k₂ の内部にある。

弧

両端が A と B の弦は、円を2つの部分に分けます。この部分を弧といいます。A と B 以外の円上の点は、どれもどちらかの弧の内部の点です。弧は、たとえば AXB のように表します。ここで X は弧の内部の点です。

弦が直径でもあるときは、円を2つの合同な弧に分けます。この弧を半円といいます。そうでないときは、円はいつも大きさのちがう2つの弧に分かれます。

中心角

点 O を中心とする円 k と弧 AB を考えます。このとき、角 AOB を弧 AB に対する中心角といいます。小さいほうの弧に対する中心角は 180° より小さい角（劣角）、大きいほうの弧に対する中心角は 180° より大きい角（優角）です。

図の円には、2つの弧 AB が示されています。大きいほうの弧に対する中心角が α、小さいほうが β です。

円周角

点 O を中心とする円 k と弧 AB を考えます。さらに、円周上で、この弧の上にない点 V をとります。このとき、角 AVB を円周角といいます。

図には、2つの円周角 AV₁B と AV₂B があります。どちらも同じ大きさ（60°）で、その大きさが中心角（120°）の半分であることに注目しましょう。