Cirkelns ekvation

En cirkel består av alla punkter i planet som har samma avstånd r till medelpunkten O. Cirkelns ekvation säger samma sak, bara med koordinater: punkten X(x, y) ligger på cirkeln om och endast om den ligger på avståndet r från medelpunkten O(m, n). Och avståndet mellan två punkter beräknar vi med Pythagoras sats.

Vi förbinder medelpunkten O med punkten X och ritar in en vågrät och en lodrät katet, så att det bildas en rätvinklig triangel. Den vågräta katetens längd är x − m, den lodräta är y − n och hypotenusan är radien r. Enligt Pythagoras sats gäller alltså

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Om punkten X låg till vänster om eller under medelpunkten skulle differensen x − m eller y − n bli negativ. Det gör ingenting, eftersom en kvadrat aldrig är negativ. Den som känner till vektorns längd känner igen samma formel: vänsterledet är kvadraten på längden av vektorn $\overrightarrow{OX}$.

Ekvationen uppfylls av koordinaterna för alla punkter på cirkeln, och bara av dem. En punkt som ligger innanför cirkeln har ett avstånd till medelpunkten som är mindre än r, och vänsterledet blir därför mindre än r². För en punkt utanför cirkeln blir det tvärtom.

Medelpunktsform

Ekvationen

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

kallas cirkelns ekvation på medelpunktsform. Det är den bekvämaste formen, eftersom vi direkt ser både medelpunkten O(m, n) och radien r.

Vi ställer upp ekvationen för en cirkel med medelpunkten O(2, −1) och radien r = 3. Vi sätter in m = 2, n = −1 och r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Minus minus ett är plus ett, och tre i kvadrat är nio:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Det är här de flesta fel görs. Medelpunkten O(2, −1) har omvända tecken i ekvationen: tvåan dyker upp som −2, minus ett som +1. Den som skriver (x + 2)² + (y − 1)² = 9 får en cirkel med medelpunkten (−2, 1), alltså på en helt annan plats. Samma fälla finns när vi läser av: ur ekvationen (x + 5)² + (y − 3)² = 16 får vi medelpunkten O(−5, 3), inte (5, −3). Och en tredje fälla: till höger står r², inte r. Den här cirkeln har radien $\sqrt{16}=4$, inte sexton.

Enklast är cirkeln med medelpunkten i origo (0, 0). Båda parenteserna förenklas och kvar blir ekvationen x² + y² = r².

Cirkel given av en diameter

Ofta avslöjar uppgiften inte medelpunkten och radien direkt. Vi ska till exempel hitta den cirkel som har sträckan AB som diameter, där A(−1, 2) och B(5, −6).

Cirkelns medelpunkt ligger precis mitt på diametern, så den är samtidigt mittpunkten på sträckan AB. Dess koordinater får vi som medelvärdena av koordinaterna för punkterna A och B:

$$O=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Radien är hälften av diametern, så först beräknar vi längden av sträckan AB. Differenserna mellan koordinaterna är 5 − (−1) = 6 och −6 − 2 = −8. Sedan använder vi Pythagoras sats:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Diametern är tio, radien är alltså r = 5. Det vore ett fel att sätta in hela längden |AB| som radie, för då skulle cirkeln bli dubbelt så stor. Vi sätter in i medelpunktsformen:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Vi kontrollerar genom att sätta in punkten A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Det stämmer, punkten A ligger på cirkeln.

Allmän form

När vi multiplicerar ut parenteserna i medelpunktsformen får vi cirkelns ekvation på allmän form. Vi utgår från den första cirkeln (x − 2)² + (y + 1)² = 9 och kvadrerar båda parenteserna med kvadreringsreglerna (a − b)² = a² − 2ab + b² och (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Vi ordnar termerna och flyttar nian till vänster, så att det blir noll till höger:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Vi adderar talen:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Det är fortfarande samma cirkel, bara skriven på ett annat sätt. Den allmänna formen skrivs som x² + y² + ax + by + c = 0. Lägg märke till att det är samma tal framför x² och y² och att termen x · y saknas. Det är oftast så vi känner igen en cirkel, men säkert vet vi först när vi har skrivit om ekvationen till medelpunktsform. Ekvationen x² + 4y² = 4 beskriver inte längre en cirkel, utan en ellips.

Ur den allmänna formen kan vi inte direkt läsa av medelpunkten eller radien, så vi måste kunna skriva om den till medelpunktsform.

Tillbaka från allmän form

Vi har ekvationen x² + y² + 6x − 8y = 0 och vill ta reda på var medelpunkten ligger och hur stor radien är. Vi använder kvadratkomplettering, separat för x och för y. Först grupperar vi termerna efter variabel:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Hälften av sex är tre, men (x + 3)² = x² + 6x + 9, så vi har lagt till en nia för mycket och måste dra bort den igen. Därför är x² + 6x = (x + 3)² − 9. Hälften av minus åtta är minus fyra, så y² − 8y = (y − 4)² − 16. Vi sätter in:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Vi flyttar talen till högerledet:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Klart, det här är medelpunktsformen. Se upp med tecknen: medelpunkten är O(−3, 4) och radien är $r=\sqrt{25}=5$. Den ursprungliga ekvationen hade ingen konstantterm, och därför uppfylls den av punkten (0, 0), så cirkeln går genom origo. Kontrollen bekräftar det: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Om det efter kvadratkompletteringen blir ett negativt tal till höger, är det ingen cirkel, eftersom summan av två kvadrater inte kan vara negativ. Vid noll skulle ekvationen bara uppfyllas av själva medelpunkten.

Ligger punkten på cirkeln?

Vi sätter in punktens koordinater i vänsterledet av medelpunktsformen och jämför resultatet med r². Vi tar punkten A(1, 2) och den första cirkeln (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Vi fick 10, och det är mer än 9. Punkten A ligger alltså längre från medelpunkten än radien och därmed utanför cirkeln. Vid exakt 9 skulle den ligga på cirkeln, och vid ett mindre tal innanför.