Ympyrän yhtälö

Ympyrä muodostuu kaikista tason pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä O on sama luku r. Ympyrän yhtälö on sama lause kirjoitettuna koordinaateilla: piste X = (x, y) on ympyrällä, jos ja vain jos sen etäisyys keskipisteestä O = (m, n) on täsmälleen r. Ja kahden pisteen etäisyyden laskee meille Pythagoraan lause.

Yhdistämme keskipisteen O pisteeseen X ja piirrämme vaaka- ja pystykateetin, jolloin syntyy suorakulmainen kolmio. Vaakakateetin pituus on x − m, pystykateetin y − n ja hypotenuusa on säde r. Pythagoraan lauseen mukaan siis pätee

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Jos piste X olisi keskipisteen vasemmalla puolella tai alapuolella, erotus x − m tai y − n tulisi negatiiviseksi. Sillä ei ole väliä, koska negatiivisen luvun neliö ei ole koskaan negatiivinen. Jos tunnet vektorin pituuden, tunnistat tästä saman kaavan: vasen puoli on vektorin $\overrightarrow{OX}$ pituuden neliö.

Yhtälön toteuttavat kaikkien ympyrän pisteiden koordinaatit, ja vain niiden. Piste, joka on ympyrän sisäpuolella, on keskipisteestä pienemmän etäisyyden päässä kuin r, ja sen vasen puoli tulee siis pienemmäksi kuin r². Ulkopuolisella pisteellä käy päinvastoin.

Keskipistemuoto

Yhtälöä

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

sanotaan ympyrän yhtälön keskipistemuodoksi. Se on kätevin muoto, koska siitä näemme heti sekä keskipisteen O = (m, n) että säteen r.

Kokeillaan muodostaa sellaisen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on O = (2, −1) ja säde r = 3. Sijoitetaan m = 2, n = −1 ja r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Miinus miinus yksi on plus yksi, ja kolmen neliö on yhdeksän:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Juuri tässä tehdään eniten virheitä. Keskipisteen O = (2, −1) merkit ovat yhtälössä päinvastaiset: kakkonen tulee näkyviin muodossa −2 ja miinus yksi muodossa +1. Jos kirjoitat (x + 2)² + (y − 1)² = 9, saat ympyrän, jonka keskipiste on (−2, 1), eli aivan eri paikassa. Sama ansa vaanii lukiessa: yhtälöstä (x + 5)² + (y − 3)² = 16 luemme keskipisteeksi O = (−5, 3), emme (5, −3). Ja kolmas kommervenkki: oikealla on r², ei r. Tämän ympyrän säde on $\sqrt{16}=4$, ei kuusitoista.

Yksinkertaisin on ympyrä, jonka keskipiste on origossa (0, 0). Molemmat sulut sievenevät, ja jäljelle jää yhtälö x² + y² = r².

Halkaisijan avulla annettu ympyrä

Usein tehtävänanto ei kerro keskipistettä eikä sädettä suoraan. Meidän täytyy esimerkiksi löytää ympyrä, jonka halkaisija on jana AB, missä A = (−1, 2) ja B = (5, −6).

Ympyrän keskipiste on täsmälleen halkaisijan keskellä, joten se on samalla janan AB keskipiste. Sen koordinaatit saadaan pisteiden A ja B koordinaattien keskiarvoina:

$$O=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Säde on puolet halkaisijasta, joten lasketaan ensin janan AB pituus. Koordinaattien erotukset ovat 5 − (−1) = 6 ja −6 − 2 = −8. Ja käytetään Pythagoraan lausetta:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Halkaisija on kymmenen, joten säde on r = 5. Virhe olisi sijoittaa säteeksi koko pituus |AB|, jolloin ympyrä olisi kaksi kertaa niin suuri. Sijoitetaan keskipistemuotoon:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Tarkistus tehdään sijoittamalla piste A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Täsmää, piste A on ympyrällä.

Yleinen muoto

Kun keskipistemuodossa kerrotaan sulut auki, saadaan ympyrän yhtälön yleinen muoto. Lähdetään ensimmäisestä ympyrästä (x − 2)² + (y + 1)² = 9 ja korotetaan molemmat sulut toiseen potenssiin kaavoilla (a − b)² = a² − 2ab + b² ja (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Järjestetään termit ja siirretään yhdeksän vasemmalle, jotta oikealle jää nolla:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Lasketaan luvut yhteen:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Kyseessä on edelleen sama ympyrä, vain kirjoitettuna toisin. Yleinen muoto kirjoitetaan x² + y² + ax + by + c = 0. Huomaa, että x²:n ja y²:n edessä on sama luku ja termi x · y puuttuu. Siitä ympyrän yleensä tunnistaa, mutta varmuuden antaa vasta muuntaminen takaisin keskipistemuotoon. Yhtälö x² + 4y² = 4 ei enää kuvaa ympyrää, se on ellipsi.

Yleisestä muodosta emme näe keskipistettä emmekä sädettä ensi silmäyksellä, joten meidän täytyy osata muuntaa se takaisin.

Yleisestä muodosta takaisin

Meillä on yhtälö x² + y² + 6x − 8y = 0, ja haluamme selvittää, missä sen keskipiste on ja mikä on sen säde. Käytämme neliöksi täydentämistä erikseen x:lle ja erikseen y:lle. Ryhmitellään ensin termit muuttujan mukaan:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Kuuden puolikas on kolme, mutta (x + 3)² = x² + 6x + 9, joten lisäsimme ylimääräisen yhdeksän ja meidän täytyy vähentää se pois. Siksi x² + 6x = (x + 3)² − 9. Miinus kahdeksan puolikas on miinus neljä, joten y² − 8y = (y − 4)² − 16. Sijoitetaan:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Siirretään luvut oikealle puolelle:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Valmis, tämä on keskipistemuoto. Varo merkkejä: keskipiste on O = (−3, 4) ja säde $r=\sqrt{25}=5$. Alkuperäisessä yhtälössä ei ollut yhtään vakiotermiä, ja siksi sen toteuttaa piste (0, 0), joten ympyrä kulkee origon kautta. Tarkistus vahvistaa tämän: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Jos neliöksi täydentämisen jälkeen oikealle puolelle tulisi negatiivinen luku, kyseessä ei ole ympyrä, koska kahden neliön summa ei voi olla negatiivinen. Jos oikealle tulisi nolla, yhtälön toteuttaisi vain keskipiste itse.

Onko piste ympyrällä?

Pisteen koordinaatit sijoitetaan keskipistemuodon vasemmalle puolelle ja tulosta verrataan lukuun r². Otetaan piste A = (1, 2) ja ensimmäinen ympyrä (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Tulos on 10, ja se on enemmän kuin 9. Piste A on siis keskipisteestä kauempana kuin säde ja on ympyrän ulkopuolella. Jos tulos olisi täsmälleen 9, piste olisi ympyrällä, ja pienemmällä tuloksella se olisi sisäpuolella.