Équation du cercle

Un cercle est l’ensemble des points du plan situés à la même distance r de son centre O. L’équation du cercle est ce même énoncé, simplement écrit à l’aide des coordonnées : le point X(x ; y) appartient au cercle si et seulement s’il est à la distance exactement r du centre O(m ; n). Et la distance entre deux points se calcule grâce au théorème de Pythagore.

On relie le centre O au point X, puis on trace un segment horizontal et un segment vertical, ce qui forme un triangle rectangle. Le côté de l’angle droit horizontal mesure x − m, le côté de l’angle droit vertical mesure y − n, et l’hypoténuse est le rayon r. D’après le théorème de Pythagore, on a donc

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Si le point X se trouvait à gauche ou en dessous du centre, la différence x − m ou y − n serait négative. Cela ne gêne pas, car un carré n’est jamais négatif. Si tu connais la norme d’un vecteur, tu reconnaîtras la même formule : le membre de gauche est le carré de la norme du vecteur $\overrightarrow{OX}$.

Les coordonnées de tous les points du cercle, et seulement celles-là, vérifient cette équation. Un point situé à l’intérieur du cercle est à une distance du centre inférieure à r, donc, pour lui, le membre de gauche est inférieur à r². Pour un point extérieur, c’est l’inverse.

Forme canonique

On appelle cette équation forme canonique de l’équation du cercle :

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

C’est la forme la plus pratique, car on y lit immédiatement le centre O(m ; n) et le rayon r.

Essayons d’écrire l’équation du cercle de centre O(2 ; −1) et de rayon r = 3. On substitue m = 2, n = −1 et r = 3 :

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Moins (moins un), cela fait plus un, et trois au carré vaut neuf :

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

C’est précisément là que l’on fait le plus d’erreurs. Dans l’équation, les signes du centre O(2 ; −1) sont inversés : le 2 apparaît sous la forme −2, et le moins un sous la forme +1. Si tu écris (x + 2)² + (y − 1)² = 9, tu obtiens un cercle de centre (−2 ; 1), donc complètement ailleurs. Le même piège guette à la lecture : de l’équation (x + 5)² + (y − 3)² = 16, on lit le centre O(−5 ; 3), et non (5 ; −3). Et une troisième subtilité : à droite se trouve r², et non r. Ce cercle a donc pour rayon $\sqrt{16}=4$, et non seize.

Le cas le plus simple est le cercle de centre à l’origine (0 ; 0). Les deux parenthèses se simplifient et il reste l’équation x² + y² = r².

Cercle défini par un diamètre

Souvent, l’énoncé ne donne directement ni le centre ni le rayon. Par exemple, on cherche le cercle dont le diamètre est le segment [AB], où A(−1 ; 2) et B(5 ; −6).

Le centre du cercle se trouve exactement au milieu du diamètre, il est donc aussi le milieu du segment [AB]. Ses coordonnées s’obtiennent comme les moyennes des coordonnées des points A et B :

$$O=(\frac{-1+5}{2};\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2};\frac{-4}{2})=(2;-2)$$

Le rayon est la moitié du diamètre, donc on calcule d’abord la longueur AB. Les différences des coordonnées sont 5 − (−1) = 6 et −6 − 2 = −8. On applique alors le théorème de Pythagore :

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Le diamètre vaut dix, donc le rayon vaut r = 5. Ce serait une erreur de prendre pour rayon toute la longueur |AB| : le cercle serait alors deux fois plus grand. On substitue dans la forme canonique :

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

On vérifie en substituant le point A : (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Cela convient, le point A appartient donc au cercle.

Forme générale

En développant les parenthèses de la forme canonique, on obtient la forme générale de l’équation du cercle. Partons du premier cercle (x − 2)² + (y + 1)² = 9 et développons les deux carrés à l’aide des identités remarquables (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)² = a² + 2ab + b² :

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

On ordonne les termes et on fait passer le 9 à gauche, de sorte qu’il ne reste que zéro à droite :

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

On additionne les nombres :

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

C’est toujours le même cercle, simplement écrit autrement. La forme générale s’écrit x² + y² + ax + by + c = 0. Remarque que les coefficients de x² et de y² sont égaux et qu’il n’y a pas de terme x · y. C’est ainsi qu’on reconnaît généralement un cercle, mais seule la transformation en forme canonique en donne la certitude. L’équation x² + 4y² = 4 ne décrit plus un cercle : c’est une ellipse.

À partir de la forme générale, on ne lit ni le centre ni le rayon au premier coup d’œil : il faut donc savoir revenir à la forme canonique.

Retour de la forme générale à la forme canonique

On considère l’équation x² + y² + 6x − 8y = 0 et l’on cherche le centre et le rayon du cercle qu’elle décrit. On utilise la complétion du carré, séparément pour x et pour y. On regroupe d’abord les termes selon la variable :

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

La moitié de six vaut trois, mais (x + 3)² = x² + 6x + 9, donc on a ajouté un neuf en trop qu’il faut ensuite retrancher. D’où x² + 6x = (x + 3)² − 9. La moitié de moins huit vaut moins quatre, donc y² − 8y = (y − 4)² − 16. On substitue :

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

On fait passer les nombres à droite :

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

C’est fait, il s’agit de la forme canonique. Attention aux signes : le centre est O(−3 ; 4) et le rayon $r=\sqrt{25}=5$. L’équation initiale ne contenait aucun nombre sans variable, donc le point (0 ; 0) la vérifie : le cercle passe par l’origine. La vérification le confirme : (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Si après la complétion du carré le membre de droite était négatif, il ne s’agirait pas d’un cercle, car une somme de deux carrés ne peut pas être négative. Si ce membre valait zéro, seul le centre vérifierait l’équation.

Le point appartient-il au cercle ?

On substitue les coordonnées du point dans le membre de gauche de la forme canonique, puis on compare le résultat à r². Prenons le point A(1 ; 2) et le premier cercle (x − 2)² + (y + 1)² = 9 :

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

On obtient 10, ce qui est plus que 9. Le point A est donc plus loin du centre que le rayon : il se trouve à l’extérieur du cercle. Pour exactement 9, il serait sur le cercle, et pour un nombre plus petit, à l’intérieur.