Likningen for en sirkel

Sirkelen består av alle punkter i planet som har samme avstand r fra sentrum S. Likningen for en sirkel er den samme setningen, bare skrevet med koordinater: punktet X(x, y) ligger på sirkelen hvis og bare hvis avstanden til sentrum S(m, n) er nøyaktig r. Og avstanden mellom to punkter kan vi regne ut med Pytagoras' setning.

Vi forbinder sentrum S med punktet X og tegner inn en vannrett og en loddrett katet, slik at det blir en rettvinklet trekant. Den vannrette kateten har lengden x − m, den loddrette y − n, og hypotenusen er radien r. Ifølge Pytagoras' setning gjelder dermed

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Hvis punktet X lå til venstre for eller under sentrum, ville differansen x − m eller y − n bli negativ. Det gjør ingenting, for en andre potens er aldri negativ. Hvis du kjenner lengden av en vektor, kjenner du igjen den samme formelen: venstre side er kvadratet av lengden av vektoren $\overrightarrow{SX}$.

Likningen er oppfylt av koordinatene til alle punkter på sirkelen, og bare av dem. Et punkt som ligger inne i sirkelen, har en avstand til sentrum som er mindre enn r, så venstre side blir mindre enn r². For et punkt utenfor er det omvendt.

Sentrumsform

Likningen

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

kaller vi sentrumsformen av likningen for en sirkel. Det er den mest praktiske formen, fordi vi med en gang ser både sentrum S(m, n) og radius r.

La oss sette opp likningen for en sirkel med sentrum S(2, −1) og radius r = 3. Vi setter inn m = 2, n = −1 og r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Minus minus én er pluss én, og tre i andre er ni:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Det er akkurat her flest feil skjer. Sentrum S(2, −1) har motsatte fortegn i likningen: to dukker opp som −2, minus én som +1. Hvis du skriver (x + 2)² + (y − 1)² = 9, får du en sirkel med sentrum (−2, 1), altså et helt annet sted. Den samme fellen finnes når du leser av: fra likningen (x + 5)² + (y − 3)² = 16 leser vi av sentrum S(−5, 3), ikke (5, −3). Og en tredje felle: til høyre står r², ikke r. Denne sirkelen har radius $\sqrt{16}=4$, ikke seksten.

Den enkleste sirkelen er den med sentrum i origo (0, 0). Begge parentesene forenkles, og vi står igjen med likningen x² + y² = r².

Sirkel gitt ved diameteren

Ofte oppgir ikke oppgaven sentrum og radius direkte. For eksempel skal vi finne sirkelen der linjestykket AB er en diameter, med A(−1, 2) og B(5, −6).

Sirkelens sentrum ligger midt på diameteren, så det er samtidig midtpunktet på linjestykket AB. Koordinatene finner vi som gjennomsnittet av koordinatene til punktene A og B:

$$S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Radius er halve diameteren, så først regner vi ut lengden av linjestykket AB. Differansene mellom koordinatene er 5 − (−1) = 6 og −6 − 2 = −8. Så bruker vi Pytagoras' setning:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Diameteren er ti, så radien er r = 5. Det ville vært en feil å sette inn hele lengden |AB| som radius, for da ville sirkelen blitt dobbelt så stor. Vi setter inn i sentrumsformen:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Vi kontrollerer ved å sette inn punktet A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Det stemmer, punktet A ligger på sirkelen.

Generell form

Når vi ganger ut parentesene i sentrumsformen, får vi den generelle formen av likningen for en sirkel. Vi tar utgangspunkt i den første sirkelen (x − 2)² + (y + 1)² = 9 og kvadrerer begge parentesene med formlene (a − b)² = a² − 2ab + b² og (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Vi sorterer leddene og flytter ni over til venstre, så det står null til høyre:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Vi legger sammen tallene:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Det er fortsatt den samme sirkelen, bare skrevet på en annen måte. Den generelle formen skrives som x² + y² + ax + by + c = 0. Legg merke til at det er samme tall foran x² og y², og at leddet x · y mangler. Slik kjenner vi vanligvis igjen en sirkel, men sikker kan vi først bli når vi har omformet tilbake til sentrumsformen. Likningen x² + 4y² = 4 beskriver ikke lenger en sirkel, den beskriver en ellipse.

Fra den generelle formen kan vi ikke lese av sentrum og radius med en gang, så vi må kunne forme den om tilbake.

Fra generell form tilbake

Vi har likningen x² + y² + 6x − 8y = 0 og vil finne ut hvor sentrum ligger og hvor stor radien er. Vi bruker kvadratkomplettering, separat for x og for y. Først grupperer vi leddene etter variabel:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Halvparten av seks er tre, men (x + 3)² = x² + 6x + 9, så vi har lagt til en ni for mye og må trekke den fra igjen. Derfor er x² + 6x = (x + 3)² − 9. Halvparten av minus åtte er minus fire, så y² − 8y = (y − 4)² − 16. Vi setter inn:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Vi flytter tallene over på høyre side:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Ferdig, dette er sentrumsformen. Pass på fortegnene: sentrum er S(−3, 4) og radius er $r=\sqrt{25}=5$. Den opprinnelige likningen hadde ikke noe ledd uten variabel, og derfor oppfyller punktet (0, 0) likningen, så sirkelen går gjennom origo. Kontrollen bekrefter det: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Hvis vi etter kvadratkompletteringen hadde fått et negativt tall til høyre, er det ikke en sirkel, for summen av to andre potenser kan ikke være negativ. Hvis vi får null, oppfyller bare selve sentrum likningen.

Ligger punktet på sirkelen?

Vi setter koordinatene til punktet inn i venstre side av sentrumsformen og sammenligner resultatet med r². Vi tar punktet A(1, 2) og den første sirkelen (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Vi fikk 10, og det er mer enn 9. Punktet A er altså lenger fra sentrum enn radien og ligger utenfor sirkelen. Hvis vi hadde fått nøyaktig 9, hadde det ligget på sirkelen, og hvis tallet hadde vært mindre, hadde det ligget inne i sirkelen.