Çemberin Denklemi

Çember, düzlemde merkez S’den aynı r uzaklığındaki tüm noktalardan oluşur. Çemberin denklemi de aynı cümlenin koordinatlarla yazılmış hâlidir: X(x, y) noktası, ancak ve ancak S(m, n) merkezinden tam r uzaklıkta ise çemberin üzerindedir. İki nokta arasındaki uzaklığı da bize Pisagor teoremi hesaplatır.

Merkez S’yi X noktasıyla birleştirir, yatay ve düşey dik kenarı çizeriz; böylece bir dik üçgen oluşur. Yatay dik kenarın uzunluğu x − m, düşey dik kenarın uzunluğu y − n, hipotenüs ise yarıçap r’dir. Pisagor teoremine göre şu eşitlik sağlanır:

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

X noktası merkezin solunda ya da altında olsaydı, x − m veya y − n farkı negatif çıkardı. Sorun değil, çünkü bir sayının karesi asla negatif olmaz. Vektörün uzunluğunu bilen biri burada aynı formülü tanır: sol taraf, $\overrightarrow{SX}$ vektörünün uzunluğunun karesidir.

Bu denklemi çemberin tüm noktalarının koordinatları sağlar, yalnızca onlar. Çemberin içinde kalan bir nokta merkeze r’den daha yakındır, bu yüzden sol taraf onun için r²’den küçük çıkar. Dışarıdaki bir noktada ise tersi olur.

Standart Form

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

denklemine çemberin standart denklemi diyoruz. En rahat biçim budur, çünkü ondan hemen S(m, n) merkezini ve r yarıçapını görürüz.

Merkezi S(2, −1) ve yarıçapı r = 3 olan çemberin denklemini yazmayı deneyelim. m = 2, n = −1 ve r = 3 yerine yazarız:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Eksi eksi bir, artı birdir ve üç kare dokuzdur:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

En çok hata tam burada yapılır. S(2, −1) merkezi denklemde işaretleri ters olarak yer alır: iki, −2 olarak; eksi bir, +1 olarak görünür. (x + 2)² + (y − 1)² = 9 yazan kişi, merkezi (−2, 1) olan, yani tamamen başka yerde duran bir çember bulur. Aynı tuzak okurken de bekler: (x + 5)² + (y − 3)² = 16 denkleminden merkezi S(−5, 3) olarak okuruz, (5, −3) olarak değil. Üçüncü bir incelik de şu: sağda r değil, r² vardır. Bu çemberin yarıçapı $\sqrt{16}=4$’tür, on altı değil.

En basit çember, merkezi başlangıç noktası (0, 0) olan çemberdir. İki parantez de sadeleşir ve geriye x² + y² = r² denklemi kalır.

Çapı Verilen Çember

Çoğu zaman soru bize merkezi de yarıçapı da doğrudan söylemez. Örneğin çapı AB doğru parçası olan çemberi bulmamız gerekiyor; burada A(−1, 2) ve B(5, −6).

Çemberin merkezi çapın tam ortasındadır, yani aynı zamanda AB doğru parçasının orta noktasıdır. Koordinatlarını, A ve B noktalarının koordinatlarının ortalaması olarak buluruz:

$$S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Yarıçap, çapın yarısıdır; bu yüzden önce AB doğru parçasının uzunluğunu hesaplarız. Koordinat farkları 5 − (−1) = 6 ve −6 − 2 = −8’dir. Ardından Pisagor teoremini kullanırız:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Çap on, yani yarıçap r = 5’tir. Yarıçap yerine |AB| uzunluğunun tamamını yazmak hata olurdu; çember iki kat büyük çıkardı. Standart denklemde yerine yazarız:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Doğrulamayı A noktasını yerine yazarak yaparız: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Uyuyor, A noktası çemberin üzerindedir.

Genel Form

Standart formda parantezleri açarsak, çemberin genel denklemini elde ederiz. İlk çemberden, (x − 2)² + (y + 1)² = 9 denkleminden başlayalım ve her iki parantezin karesini (a − b)² = a² − 2ab + b² ve (a + b)² = a² + 2ab + b² formülleriyle açalım:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Terimleri sıralar ve dokuzu sola geçiririz ki sağda sıfır kalsın:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Sayıları toplarız:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Bu hâlâ aynı çemberdir, yalnızca başka bir yazılışla. Genel form x² + y² + ax + by + c = 0 biçiminde yazılır. x² ve y² için aynı sayının bulunduğuna ve x · y teriminin bulunmadığına dikkat et. Çemberi genellikle bundan tanırız, ama kesinliği ancak standart forma geri dönüş verir. x² + 4y² = 4 denklemi artık bir çemberi betimlemez, bu bir elipstir.

Genel formdan merkezi de yarıçapı da ilk bakışta okuyamayız; bu yüzden onu geri çevirebilmeyi öğrenmemiz gerekir.

Genel Formdan Geri Dönüş

x² + y² + 6x − 8y = 0 denklemi elimizde ve merkezinin nerede, yarıçapının ne olduğunu bulmak istiyoruz. Tam kareye tamamlamayı kullanırız, x için ve y için ayrı ayrı. Önce terimleri değişkene göre gruplarız:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Altının yarısı üçtür, ama (x + 3)² = x² + 6x + 9 olduğundan fazladan bir dokuz eklemiş olduk ve onu yine çıkarmamız gerekir. Bu yüzden x² + 6x = (x + 3)² − 9. Eksi sekizin yarısı eksi dörttür, yani y² − 8y = (y − 4)² − 16. Yerine yazarız:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Sayıları sağ tarafa geçiririz:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Tamam, bu standart formdur. İşaretlere dikkat: merkez S(−3, 4), yarıçap ise $r=\sqrt{25}=5$’tir. İlk denklemde değişkensiz hiçbir sayı yoktu; bu yüzden (0, 0) noktası onu sağlar ve çember başlangıç noktasından geçer. Doğrulama bunu onaylar: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Tam kareye tamamladıktan sonra sağda negatif bir sayı çıksaydı, bu bir çember olmazdı; çünkü iki karenin toplamı negatif olamaz. Sıfır çıksaydı denklemi yalnızca merkezin kendisi sağlardı.

Nokta Çemberin Üzerinde mi?

Noktanın koordinatlarını standart formun sol tarafında yerine yazar, sonucu r² ile karşılaştırırız. A(1, 2) noktasını ve ilk çemberi, (x − 2)² + (y + 1)² = 9 denklemini alalım:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

10 çıktı ve bu, 9’dan büyüktür. Yani A noktası merkezden yarıçaptan daha uzaktadır ve çemberin dışında kalır. Tam 9 olsaydı çemberin üzerinde, daha küçük bir sayı olsaydı içinde olurdu.