Ecuación de la circunferencia

La circunferencia está formada por todos los puntos del plano que están a la misma distancia r del centro S. La ecuación de la circunferencia es esa misma frase escrita con coordenadas: el punto X(x, y) está en la circunferencia si y solo si dista exactamente r del centro S(m, n). Y la distancia entre dos puntos nos la calcula el teorema de Pitágoras.

Unimos el centro S con el punto X y trazamos el cateto horizontal y el vertical, con lo que se forma un triángulo rectángulo. El cateto horizontal mide x − m, el vertical y − n y la hipotenusa es el radio r. Por el teorema de Pitágoras se cumple, por tanto,

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Si el punto X estuviera a la izquierda o por debajo del centro, la diferencia x − m o y − n saldría negativa. No importa, porque un cuadrado nunca es negativo. Quien conozca el módulo de un vector reconocerá aquí la misma fórmula: el primer miembro es el cuadrado del módulo del vector $\overrightarrow{SX}$.

Esta ecuación la cumplen las coordenadas de todos los puntos de la circunferencia, y solo las de ellos. Un punto que está dentro de la circunferencia dista del centro menos que r, así que el primer miembro le sale menor que r². Con un punto de fuera ocurre lo contrario.

Forma reducida

A la ecuación

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

la llamamos forma reducida de la ecuación de la circunferencia. Es la forma más cómoda, porque de ella vemos enseguida el centro S(m, n) y el radio r.

Vamos a escribir la ecuación de la circunferencia de centro S(2, −1) y radio r = 3. Sustituimos m = 2, n = −1 y r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Menos menos uno es más uno y tres al cuadrado es nueve:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Aquí es justo donde se cometen más errores. El centro S(2, −1) aparece en la ecuación con los signos cambiados: el dos se convierte en −2 y el menos uno en +1. Quien escriba (x + 2)² + (y − 1)² = 9 obtendrá una circunferencia de centro (−2, 1), es decir, en un sitio completamente distinto. La misma trampa acecha al leer: de la ecuación (x + 5)² + (y − 3)² = 16 sacamos el centro S(−5, 3), no (5, −3). Y una tercera dificultad: a la derecha está r², no r. Esta circunferencia tiene radio $\sqrt{16}=4$, no dieciséis.

La más sencilla es la circunferencia de centro en el origen (0, 0). Los dos paréntesis se simplifican y queda la ecuación x² + y² = r².

Circunferencia dada por un diámetro

A menudo el enunciado no nos revela directamente ni el centro ni el radio. Por ejemplo, tenemos que hallar la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB, donde A(−1, 2) y B(5, −6).

El centro de la circunferencia está justo en medio del diámetro, así que es a la vez el punto medio del segmento AB. Sus coordenadas las obtenemos como la media de las coordenadas de los puntos A y B:

$$S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

El radio es la mitad del diámetro, así que primero calculamos la longitud del segmento AB. Las diferencias de coordenadas son 5 − (−1) = 6 y −6 − 2 = −8. Y aplicamos el teorema de Pitágoras:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

El diámetro es diez, así que el radio es r = 5. Sería un error sustituir como radio la longitud entera |AB|: la circunferencia saldría el doble de grande. Sustituimos en la forma reducida:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Hacemos la comprobación sustituyendo el punto A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Coincide, el punto A está en la circunferencia.

Forma general

Si en la forma reducida desarrollamos los paréntesis, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia. Partimos de la primera circunferencia (x − 2)² + (y + 1)² = 9 y desarrollamos los dos paréntesis con las fórmulas (a − b)² = a² − 2ab + b² y (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Ordenamos los términos y pasamos el nueve a la izquierda para que a la derecha quede cero:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Sumamos los números:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Sigue siendo la misma circunferencia, solo que escrita de otra forma. La forma general se escribe como x² + y² + ax + by + c = 0. Fíjate en que x² e y² llevan el mismo número y falta el término x · y. Así es como normalmente reconocemos una circunferencia, pero la certeza solo la da pasar de nuevo a la forma reducida. La ecuación x² + 4y² = 4 ya no describe una circunferencia, es una elipse.

De la forma general no podemos leer a primera vista ni el centro ni el radio, así que tenemos que saber volver a la forma reducida.

De la forma general a la reducida

Tenemos la ecuación x² + y² + 6x − 8y = 0 y queremos saber dónde está su centro y cuál es su radio. Usamos completar el cuadrado, por separado para x y para y. Primero agrupamos los términos según la variable:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

La mitad de seis es tres, pero (x + 3)² = x² + 6x + 9, así que hemos añadido un nueve de más y tenemos que volver a restarlo. Por eso x² + 6x = (x + 3)² − 9. La mitad de menos ocho es menos cuatro, así que y² − 8y = (y − 4)² − 16. Sustituimos:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Pasamos los números al segundo miembro:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Listo, esta es la forma reducida. Cuidado con los signos: el centro es S(−3, 4) y el radio $r=\sqrt{25}=5$. La ecuación original no tenía ningún número sin variable, y por eso la cumple el punto (0, 0), de modo que la circunferencia pasa por el origen. La comprobación lo confirma: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Si tras completar el cuadrado saliera a la derecha un número negativo, no se trataría de una circunferencia, porque la suma de dos cuadrados no puede ser negativa. Con cero, la ecuación solo la cumpliría el propio centro.

¿Está el punto en la circunferencia?

Sustituimos las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma reducida y comparamos el resultado con r². Tomamos el punto A(1, 2) y la primera circunferencia (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Ha salido 10, que es más que 9. El punto A está, por tanto, más lejos del centro que el radio y queda fuera de la circunferencia. Con exactamente 9 estaría en la circunferencia y con un número menor, dentro.