Equação da circunferência

A circunferência é formada por todos os pontos do plano que têm a mesma distância r do centro O. A equação da circunferência é a mesma frase, só que escrita com coordenadas: o ponto X(x, y) pertence à circunferência se, e somente se, está a uma distância exatamente r do centro O(m, n). E a distância entre dois pontos nos é dada pelo teorema de Pitágoras.

Ligamos o centro O ao ponto X e completamos o desenho com um cateto horizontal e um vertical, formando um triângulo retângulo. O cateto horizontal tem comprimento x − m, o vertical tem y − n, e a hipotenusa é o raio r. Pelo teorema de Pitágoras, portanto, vale

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Se o ponto X estivesse à esquerda ou abaixo do centro, a diferença x − m ou y − n sairia negativa. Isso não atrapalha, porque o quadrado de um número nunca é negativo. Quem conhece o módulo de um vetor reconhece aqui a mesma fórmula: o lado esquerdo é o quadrado do módulo do vetor $\overrightarrow{OX}$.

A equação é satisfeita pelas coordenadas de todos os pontos da circunferência, e somente por elas. Um ponto que está dentro da circunferência tem distância ao centro menor que r, e, para ele, o lado esquerdo dá, portanto, um valor menor que r². Para um ponto de fora acontece o contrário.

Forma reduzida

A equação

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

é chamada de equação reduzida da circunferência. É a forma mais cômoda, porque dela vemos de imediato o centro O(m, n) e o raio r.

Vamos tentar montar a equação da circunferência de centro O(2, −1) e raio r = 3. Substituímos m = 2, n = −1 e r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Menos menos um é mais um, e três ao quadrado é nove:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

É justamente aqui que se cometem mais erros. O centro O(2, −1) aparece na equação com os sinais trocados: o dois aparece como −2, o menos um como +1. Quem escrever (x + 2)² + (y − 1)² = 9 obtém uma circunferência de centro (−2, 1), ou seja, em um lugar completamente diferente. A mesma armadilha espreita na leitura: da equação (x + 5)² + (y − 3)² = 16 lemos o centro O(−5, 3), e não (5, −3). E uma terceira pegadinha: à direita está r², não r. Essa circunferência tem raio $\sqrt{16}=4$, e não dezesseis.

A mais simples é a circunferência com centro na origem (0, 0). Os dois parênteses se simplificam e sobra a equação x² + y² = r².

Circunferência dada pelo diâmetro

Muitas vezes o enunciado não nos revela de cara nem o centro nem o raio. Por exemplo, devemos encontrar a circunferência cujo diâmetro é o segmento AB, em que A(−1, 2) e B(5, −6).

O centro da circunferência fica exatamente no meio do diâmetro, e é, portanto, ao mesmo tempo o ponto médio do segmento AB. Obtemos suas coordenadas como as médias das coordenadas dos pontos A e B:

$$O=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

O raio é a metade do diâmetro, então primeiro calculamos o comprimento do segmento AB. As diferenças das coordenadas são 5 − (−1) = 6 e −6 − 2 = −8. E usamos o teorema de Pitágoras:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

O diâmetro é dez, e o raio é, portanto, r = 5. Seria um erro substituir o raio pelo comprimento inteiro |AB|: a circunferência ficaria duas vezes maior. Substituímos na forma reduzida:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Fazemos a verificação substituindo o ponto A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Confere, o ponto A pertence à circunferência.

Forma geral

Quando desenvolvemos os parênteses da forma reduzida, obtemos a equação geral da circunferência. Partimos da primeira circunferência (x − 2)² + (y + 1)² = 9 e elevamos ao quadrado os dois parênteses pelas fórmulas (a − b)² = a² − 2ab + b² e (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Ordenamos os termos e passamos o nove para a esquerda, para que à direita fique zero:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Somamos os números:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Continua sendo a mesma circunferência, só que escrita de outro modo. A forma geral é escrita como x² + y² + ax + by + c = 0. Observe que x² e y² têm o mesmo coeficiente e que o termo x · y não aparece. Por esses sinais costumamos reconhecer a circunferência, mas a certeza só vem depois da conversão de volta para a forma reduzida. A equação x² + 4y² = 4 já não descreve uma circunferência, e sim uma elipse.

Da forma geral não conseguimos ler o centro nem o raio à primeira vista, então precisamos saber converter de volta.

Da forma geral de volta à reduzida

Temos a equação x² + y² + 6x − 8y = 0 e queremos descobrir onde fica o centro e qual é o raio dela. Usamos o completamento de quadrados, separadamente para x e para y. Primeiro agrupamos os termos por variável:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

A metade de seis é três, mas (x + 3)² = x² + 6x + 9, de modo que acrescentamos um nove a mais e precisamos subtraí-lo de novo. Por isso x² + 6x = (x + 3)² − 9. A metade de menos oito é menos quatro, então y² − 8y = (y − 4)² − 16. Substituímos:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Passamos os números para o lado direito:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Pronto, esta é a forma reduzida. Atenção aos sinais: o centro é O(−3, 4) e o raio é $r=\sqrt{25}=5$. A equação original não tinha nenhum número sem variável, e por isso o ponto (0, 0) a satisfaz, e a circunferência passa, portanto, pela origem. A verificação confirma: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Se, depois do completamento de quadrados, saísse à direita um número negativo, não se trataria de uma circunferência, porque uma soma de dois quadrados não pode ser negativa. Se desse zero, a equação seria satisfeita apenas pelo próprio centro.

O ponto pertence à circunferência?

Substituímos as coordenadas do ponto no lado esquerdo da forma reduzida e comparamos o resultado com r². Tomamos o ponto A(1, 2) e a primeira circunferência (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Deu 10, que é mais que 9. O ponto A está, portanto, mais longe do centro do que o raio, e fica fora da circunferência. Se desse exatamente 9, ele estaria sobre a circunferência; com um número menor, dentro dela.