Equazione della circonferenza

La circonferenza è formata da tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza r dal centro O. L’equazione della circonferenza è questa stessa frase scritta con le coordinate: il punto X(x; y) appartiene alla circonferenza se e solo se dista esattamente r dal centro O(m; n). E la distanza tra due punti ce la calcola il teorema di Pitagora.

Uniamo il centro O con il punto X e completiamo la figura con un cateto orizzontale e uno verticale, ottenendo un triangolo rettangolo. Il cateto orizzontale ha lunghezza x − m, quello verticale y − n e l’ipotenusa è il raggio r. Per il teorema di Pitagora vale quindi

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Se il punto X si trovasse a sinistra o al di sotto del centro, la differenza x − m o y − n risulterebbe negativa. Non importa, perché il quadrato di un numero non è mai negativo. Chi conosce il modulo di un vettore riconosce la stessa formula: il primo membro è il quadrato del modulo del vettore $\overrightarrow{OX}$.

L’equazione è soddisfatta dalle coordinate di tutti i punti della circonferenza, e solo da quelle. Un punto interno alla circonferenza ha dal centro una distanza minore di r, e sostituendo le sue coordinate il primo membro risulta quindi minore di r². Per un punto esterno succede il contrario.

Forma con centro e raggio

L’equazione

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

si chiama equazione della circonferenza in forma con centro e raggio. È la forma più comoda, perché da essa vediamo subito sia il centro O(m; n) sia il raggio r.

Proviamo a scrivere l’equazione della circonferenza di centro O(2; −1) e raggio r = 3. Sostituiamo m = 2, n = −1 e r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Meno meno uno fa più uno e tre al quadrato fa nove:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Proprio qui si sbaglia più spesso. Il centro O(2; −1) compare nell’equazione con i segni invertiti: il due appare come −2, il meno uno come +1. Chi scrive (x + 2)² + (y − 1)² = 9 ottiene una circonferenza di centro (−2; 1), cioè da tutt’altra parte. La stessa trappola c’è anche nella lettura: dall’equazione (x + 5)² + (y − 3)² = 16 ricaviamo il centro O(−5; 3), non (5; −3). E una terza insidia: a destra c’è r², non r. Questa circonferenza ha raggio $\sqrt{16}=4$, non sedici.

La circonferenza più semplice è quella con il centro nell’origine (0; 0). Le due parentesi si semplificano e resta l’equazione x² + y² = r².

Circonferenza data da un diametro

Spesso il testo non ci dà direttamente né il centro né il raggio. Ad esempio dobbiamo trovare la circonferenza che ha come diametro il segmento AB, dove A(−1; 2) e B(5; −6).

Il centro della circonferenza si trova esattamente a metà del diametro, quindi è anche il punto medio del segmento AB. Le sue coordinate si ottengono come medie delle coordinate dei punti A e B:

$$O=(\frac{-1+5}{2};\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2};\frac{-4}{2})=(2;-2)$$

Il raggio è la metà del diametro, quindi calcoliamo prima la lunghezza del segmento AB. Le differenze delle coordinate sono 5 − (−1) = 6 e −6 − 2 = −8. Usiamo il teorema di Pitagora:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Il diametro è dieci, quindi il raggio è r = 5. Sarebbe un errore sostituire al raggio l’intera lunghezza |AB|: la circonferenza risulterebbe grande il doppio. Sostituiamo nell’equazione con centro e raggio:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Facciamo la verifica sostituendo il punto A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Torna, il punto A appartiene alla circonferenza.

Forma normale

Se nella forma con centro e raggio sviluppiamo le parentesi, otteniamo la forma normale dell’equazione della circonferenza (detta anche forma canonica). Partiamo dalla prima circonferenza (x − 2)² + (y + 1)² = 9 ed eleviamo al quadrato le due parentesi con le formule (a − b)² = a² − 2ab + b² e (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Ordiniamo i termini e portiamo il nove a sinistra, in modo che a destra resti zero:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Sommiamo i numeri:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Si tratta ancora della stessa circonferenza, solo scritta in un altro modo. La forma normale si scrive come x² + y² + ax + by + c = 0. Osserva che davanti a x² e a y² c’è lo stesso numero e che manca il termine x · y. Da questo di solito riconosciamo una circonferenza, ma la certezza si ha solo riportando l’equazione alla forma con centro e raggio. L’equazione x² + 4y² = 4 non descrive più una circonferenza, è un’ellisse.

Dalla forma normale non riusciamo a leggere a colpo d’occhio né il centro né il raggio, quindi dobbiamo saperla riportare indietro.

Dalla forma normale a quella con centro e raggio

Abbiamo l’equazione x² + y² + 6x − 8y = 0 e vogliamo scoprire dove ha il centro e quanto vale il suo raggio. Usiamo il completamento del quadrato, separatamente per x e per y. Prima raggruppiamo i termini per variabile:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

La metà di sei è tre, ma (x + 3)² = x² + 6x + 9, quindi abbiamo aggiunto un nove in più e dobbiamo sottrarlo di nuovo. Perciò x² + 6x = (x + 3)² − 9. La metà di meno otto è meno quattro, quindi y² − 8y = (y − 4)² − 16. Sostituiamo:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Portiamo i numeri a destra:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Fatto, questa è la forma con centro e raggio. Attenzione ai segni: il centro è O(−3; 4) e il raggio $r=\sqrt{25}=5$. L’equazione originale non aveva alcun termine noto, e per questo è soddisfatta dal punto (0; 0): la circonferenza passa quindi per l’origine. La verifica lo conferma: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Se dopo il completamento del quadrato a destra risultasse un numero negativo, non si tratterebbe di una circonferenza, perché una somma di due quadrati non può essere negativa. Con lo zero l’equazione sarebbe soddisfatta soltanto dal centro stesso.

Il punto appartiene alla circonferenza?

Sostituiamo le coordinate del punto nel primo membro dell’equazione con centro e raggio e confrontiamo il risultato con r². Prendiamo il punto A(1; 2) e la prima circonferenza (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Risulta 10, che è più di 9. Il punto A dista quindi dal centro più del raggio e si trova all’esterno della circonferenza. Con esattamente 9 apparterrebbe alla circonferenza, con un numero minore sarebbe interno.