Уравнение на окръжност

Окръжността е образувана от всички точки в равнината, които са на едно и също разстояние r от центъра O. Уравнението на окръжността е същото твърдение, само записано с координати: точката X(x; y) лежи на окръжността тогава и само тогава, когато е на разстояние точно r от центъра O(a; b). А разстоянието между две точки пресмятаме с Питагоровата теорема.

Свързваме центъра O с точката X и дочертаваме хоризонтален и вертикален катет, с което се образува правоъгълен триъгълник. Хоризонталният катет има дължина x − a, вертикалният y − b, а хипотенузата е радиусът r. Според Питагоровата теорема следователно е изпълнено

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$$

Ако точката X е вляво от центъра или под него, разликата x − a или y − b е отрицателна. Това не пречи, защото квадратът никога не е отрицателен. Който знае дължината на вектор, ще разпознае същата формула: лявата страна е квадратът на дължината на вектора $\overrightarrow{OX}$.

Уравнението се удовлетворява от координатите на всички точки на окръжността и само от тях. Точка, която лежи вътре в окръжността, е на разстояние от центъра, по-малко от r, и затова за нея лявата страна е по-малка от r². При точка отвън е обратното.

Нормален вид

Уравнението

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

наричаме нормален вид на уравнението на окръжност. Това е най-удобният вид, защото от него веднага виждаме центъра O(a; b) и радиуса r.

Нека опитаме да съставим уравнението на окръжност с център O(2; −1) и радиус r = 3. Заместваме a = 2, b = −1 и r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Минус минус едно е плюс едно, а три на втора степен е девет:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Тук се правят най-много грешки. Центърът O(2; −1) има в уравнението обратни знаци: числото 2 се появява като −2, а минус едно – като +1. Който напише (x + 2)² + (y − 1)² = 9, получава окръжност с център (−2; 1), т.е. съвсем другаде. Същият капан дебне и при четене: от уравнението (x + 5)² + (y − 3)² = 16 отчитаме център O(−5; 3), а не (5; −3). И третият капан: отдясно е r², не r. Тази окръжност има радиус $\sqrt{16}=4$, а не шестнадесет.

Най-простата е окръжността с център в началото (0; 0). Двете скоби се опростяват и остава уравнението x² + y² = r².

Окръжност, зададена с диаметър

Често условието не ни издава направо нито центъра, нито радиуса. Например трябва да намерим окръжността с диаметър отсечката AB, където A(−1; 2) и B(5; −6).

Центърът на окръжността лежи точно в средата на диаметъра, така че е и среда на отсечката AB. Координатите му получаваме като средни аритметични на координатите на точките A и B:

$$O=(\frac{-1+5}{2};\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2};\frac{-4}{2})=(2;-2)$$

Радиусът е половината от диаметъра, така че първо пресмятаме дължината на отсечката AB. Разликите на координатите са 5 − (−1) = 6 и −6 − 2 = −8. И използваме Питагоровата теорема:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Диаметърът е десет, радиусът следователно е r = 5. Грешка би било да вземем за радиус цялата дължина |AB|, окръжността тогава би била два пъти по-голяма. Заместваме в нормалния вид:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Проверката правим със заместване на точката A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Съвпада, точката A лежи на окръжността.

Общ вид

Когато в нормалния вид разкрием скобите, получаваме общ вид на уравнението на окръжност. Изхождаме от първата окръжност (x − 2)² + (y + 1)² = 9 и повдигаме на квадрат двете скоби по формулите (a − b)² = a² − 2ab + b² и (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Подреждаме членовете и прехвърляме 9 в лявата страна, за да остане отдясно нула:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Събираме числата:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Все още е същата окръжност, само записана по друг начин. Общият вид се записва като x² + y² + px + qy + c = 0. Забележи, че пред x² и пред y² е едно и също число и членът x · y липсва. По това обикновено разпознаваме окръжност, но сигурност ни дава едва преобразуването обратно към нормален вид. Уравнението x² + 4y² = 4 вече не описва окръжност, това е елипса.

От общия вид центърът и радиусът не се отчитат на пръв поглед, затова трябва да можем да го преобразуваме обратно.

От общ вид обратно

Имаме уравнението x² + y² + 6x − 8y = 0 и искаме да установим къде е центърът на окръжността и какъв е радиусът ѝ. Използваме допълване до точен квадрат, поотделно за x и поотделно за y. Първо групираме членовете по променлива:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Половината от шест е три, но (x + 3)² = x² + 6x + 9, така че добавихме 9 в повече и трябва пак да го извадим. Затова x² + 6x = (x + 3)² − 9. Половината от минус осем е минус четири, така че y² − 8y = (y − 4)² − 16. Заместваме:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Прехвърляме числата в дясната страна:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Готово, това е нормалният вид. Внимавай със знаците, центърът е O(−3; 4) и радиусът е $r=\sqrt{25}=5$. Първоначалното уравнение нямаше число без променлива и затова то се удовлетворява от точката (0; 0), т.е. окръжността минава през началото. Проверката го потвърждава: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Ако след допълването до точен квадрат отдясно излезе отрицателно число, това не е окръжност, защото сборът на два квадрата не може да е отрицателен. При нула уравнението би било изпълнено само от самия център.

Лежи ли точката на окръжността?

Заместваме координатите на точката в лявата страна на нормалния вид и сравняваме резултата с r². Вземаме точката A(1; 2) и първата окръжност (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Получихме 10, а това е повече от 9. Следователно точката A е по-далеч от центъра, отколкото е радиусът, и лежи извън окръжността. При точно 9 би лежала на окръжността, при по-малко число – вътре.