Ecuația cercului

Cercul este alcătuit din toate punctele din plan care se află la aceeași distanță r de centrul S. Ecuația cercului este aceeași propoziție, doar că scrisă cu coordonate: punctul X(x, y) se află pe cerc dacă și numai dacă se află exact la distanța r de centrul S(m, n). Iar distanța dintre două puncte ne-o calculează teorema lui Pitagora.

Unim centrul S cu punctul X și desenăm cateta orizontală și cea verticală; astfel se formează un triunghi dreptunghic. Cateta orizontală are lungimea x − m, cea verticală y − n, iar ipotenuza este raza r. Din teorema lui Pitagora rezultă deci că

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Dacă punctul X s-ar afla la stânga centrului sau sub el, diferența x − m sau y − n ar ieși negativă. Nu este nicio problemă, pentru că pătratul unui număr nu este niciodată negativ. Cine știe cum se calculează modulul unui vector recunoaște aici aceeași formulă: membrul stâng este pătratul modulului vectorului $\overrightarrow{SX}$.

Ecuația este verificată de coordonatele tuturor punctelor cercului și numai de ale lor. Un punct situat în interiorul cercului are față de centru o distanță mai mică decât r, deci pentru el membrul stâng iese mai mic decât r². Pentru un punct din exterior este invers.

Forma canonică

Ecuația

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

se numește forma canonică a ecuației cercului. Este cea mai comodă formă, pentru că din ea vedem imediat centrul S(m, n) și raza r.

Să încercăm să scriem ecuația cercului cu centrul S(2, −1) și raza r = 3. Înlocuim m = 2, n = −1 și r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Minus minus unu este plus unu, iar trei la pătrat este nouă:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Exact aici se fac cele mai multe greșeli. Centrul S(2, −1) are în ecuație semnele inversate: doi apare ca −2, minus unu ca +1. Cine scrie (x + 2)² + (y − 1)² = 9 obține un cerc cu centrul (−2, 1), adică cu totul în alt loc. Aceeași capcană ne așteaptă și la citire: din ecuația (x + 5)² + (y − 3)² = 16 citim centrul S(−5, 3), și nu (5, −3). Și a treia capcană: în dreapta este r², nu r. Acest cerc are raza $\sqrt{16}=4$, nu șaisprezece.

Cel mai simplu este cercul cu centrul în origine (0, 0). Ambele paranteze se simplifică și rămâne ecuația x² + y² = r².

Cercul dat prin diametru

Adesea enunțul nu ne dezvăluie direct nici centrul, nici raza. De exemplu, trebuie să găsim cercul care are ca diametru segmentul AB, unde A(−1, 2) și B(5, −6).

Centrul cercului se află exact la mijlocul diametrului, deci este totodată mijlocul segmentului AB. Coordonatele lui le obținem ca medii aritmetice ale coordonatelor punctelor A și B:

$$S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Raza este jumătate din diametru, așa că mai întâi calculăm lungimea segmentului AB. Diferențele coordonatelor sunt 5 − (−1) = 6 și −6 − 2 = −8. Folosim teorema lui Pitagora:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Diametrul este zece, deci raza este r = 5. Ar fi o greșeală să punem în locul razei întreaga lungime |AB|, cercul ar ieși atunci de două ori mai mare. Înlocuim în forma canonică:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Facem verificarea înlocuind punctul A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Se potrivește, punctul A se află pe cerc.

Forma generală

Dacă în forma canonică desfacem parantezele, obținem forma generală a ecuației cercului. Pornim de la primul cerc (x − 2)² + (y + 1)² = 9 și ridicăm la pătrat ambele paranteze după formulele (a − b)² = a² − 2ab + b² și (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Ordonăm termenii și trecem nouă în membrul stâng, ca în membrul drept să rămână zero:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Adunăm numerele:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Este tot același cerc, doar scris altfel. Forma generală se scrie x² + y² + ax + by + c = 0. Observă că coeficienții lui x² și y² sunt egali și că termenul x · y lipsește. După asta recunoaștem de obicei cercul, dar certitudinea o dă abia trecerea înapoi la forma canonică. Ecuația x² + 4y² = 4 nu mai descrie un cerc, ci o elipsă.

Din forma generală nu putem citi centrul și raza dintr-o privire, așa că trebuie să știm să trecem înapoi.

Înapoi de la forma generală

Avem ecuația x² + y² + 6x − 8y = 0 și vrem să aflăm unde are centrul și cât este raza. Folosim formarea pătratului perfect, separat pentru x și separat pentru y. Mai întâi grupăm termenii după variabilă:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Jumătate din șase este trei, dar (x + 3)² = x² + 6x + 9, deci am adăugat în plus numărul nouă și trebuie să-l scădem la loc. De aceea x² + 6x = (x + 3)² − 9. Jumătate din minus opt este minus patru, deci y² − 8y = (y − 4)² − 16. Înlocuim:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Mutăm numerele în membrul drept:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Gata, aceasta este forma canonică. Atenție la semne: centrul este S(−3, 4), iar raza $r=\sqrt{25}=5$. Ecuația inițială nu avea niciun număr fără variabilă, de aceea este verificată de punctul (0, 0), iar cercul trece deci prin origine. Verificarea o confirmă: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Dacă după formarea pătratului perfect ar ieși în dreapta un număr negativ, nu ar fi vorba de un cerc, pentru că suma a două pătrate nu poate fi negativă. La zero, ecuația ar fi verificată doar de centrul însuși.

Se află punctul pe cerc?

Înlocuim coordonatele punctului în membrul stâng al formei canonice și comparăm rezultatul cu r². Luăm punctul A(1, 2) și primul cerc (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

A ieșit 10, iar acesta este mai mare decât 9. Punctul A este deci mai departe de centru decât raza și se află în exteriorul cercului. La exact 9 ar fi pe cerc, la un număr mai mic în interior.