Εξίσωση κύκλου

Ο κύκλος αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που έχουν από το κέντρο S την ίδια απόσταση r. Η εξίσωση του κύκλου είναι η ίδια πρόταση, απλώς γραμμένη με συντεταγμένες: το σημείο X(x, y) βρίσκεται στον κύκλο αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο S(m, n) ακριβώς r. Και την απόσταση δύο σημείων μας τη δίνει το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ενώνουμε το κέντρο S με το σημείο X και σχεδιάζουμε μια οριζόντια και μια κατακόρυφη κάθετη πλευρά, οπότε προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο. Η οριζόντια κάθετη πλευρά έχει μήκος x − m, η κατακόρυφη y − n και η υποτείνουσα είναι η ακτίνα r. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει λοιπόν

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Αν το σημείο X βρισκόταν αριστερά ή κάτω από το κέντρο, η διαφορά x − m ή y − n θα έβγαινε αρνητική. Δεν πειράζει, επειδή το τετράγωνο ενός αριθμού δεν είναι ποτέ αρνητικό. Όποιος ξέρει το μέτρο διανύσματος, αναγνωρίζει εδώ τον ίδιο τύπο: το πρώτο μέλος είναι το τετράγωνο του μέτρου του διανύσματος $\overrightarrow{SX}$.

Την εξίσωση την επαληθεύουν οι συντεταγμένες όλων των σημείων του κύκλου και μόνο αυτών. Ένα σημείο που βρίσκεται μέσα στον κύκλο έχει από το κέντρο απόσταση μικρότερη από r, και το πρώτο μέλος του βγαίνει επομένως μικρότερο από r². Για ένα σημείο έξω συμβαίνει το αντίθετο.

Εξίσωση με κέντρο και ακτίνα

Την εξίσωση

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

την ονομάζουμε εξίσωση του κύκλου με κέντρο και ακτίνα. Είναι η πιο βολική μορφή, επειδή από αυτήν βλέπουμε αμέσως και το κέντρο S(m, n) και την ακτίνα r.

Ας δοκιμάσουμε να γράψουμε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο S(2, −1) και ακτίνα r = 3. Αντικαθιστούμε m = 2, n = −1 και r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Μείον μείον ένα κάνει συν ένα και τρία στο τετράγωνο κάνει εννέα:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Εδώ γίνονται τα περισσότερα λάθη. Το κέντρο S(2, −1) έχει στην εξίσωση τα πρόσημα ανάποδα: το δύο εμφανίζεται ως −2, το μείον ένα ως +1. Όποιος γράψει (x + 2)² + (y − 1)² = 9, παίρνει κύκλο με κέντρο (−2, 1), δηλαδή εντελώς αλλού. Η ίδια παγίδα καραδοκεί και στην ανάγνωση: από την εξίσωση (x + 5)² + (y − 3)² = 16 διαβάζουμε κέντρο S(−5, 3) και όχι (5, −3). Και μια τρίτη ύπουλη λεπτομέρεια: στο δεύτερο μέλος βρίσκεται το r² και όχι το r. Αυτός ο κύκλος έχει ακτίνα $\sqrt{16}=4$ και όχι δεκαέξι.

Ο πιο απλός είναι ο κύκλος με κέντρο στην αρχή των αξόνων (0, 0). Οι δύο παρενθέσεις απλοποιούνται και μένει η εξίσωση x² + y² = r².

Κύκλος με δοσμένη διάμετρο

Συχνά η εκφώνηση δεν μας αποκαλύπτει αμέσως ούτε το κέντρο ούτε την ακτίνα. Για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε τον κύκλο που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα AB, όπου A(−1, 2) και B(5, −6).

Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται ακριβώς στη μέση της διαμέτρου, άρα είναι ταυτόχρονα το μέσο του τμήματος AB. Τις συντεταγμένες του τις παίρνουμε ως μέσους όρους των συντεταγμένων των σημείων A και B:

$$S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Η ακτίνα είναι το μισό της διαμέτρου, γι' αυτό υπολογίζουμε πρώτα το μήκος του τμήματος AB. Οι διαφορές των συντεταγμένων είναι 5 − (−1) = 6 και −6 − 2 = −8. Και χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Η διάμετρος είναι δέκα, άρα η ακτίνα είναι r = 5. Λάθος θα ήταν να βάλουμε για ακτίνα ολόκληρο το μήκος |AB|, γιατί ο κύκλος τότε θα ήταν διπλάσιος. Αντικαθιστούμε στη μορφή με κέντρο και ακτίνα:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Την επαλήθευση την κάνουμε αντικαθιστώντας το σημείο A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Ταιριάζει, το σημείο A βρίσκεται στον κύκλο.

Γενική μορφή

Όταν στη μορφή με κέντρο και ακτίνα κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις, παίρνουμε τη γενική μορφή της εξίσωσης του κύκλου. Ξεκινάμε από τον πρώτο κύκλο (x − 2)² + (y + 1)² = 9 και υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δύο παρενθέσεις με τους τύπους (a − b)² = a² − 2ab + b² και (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Τακτοποιούμε τους όρους και περνάμε το εννέα αριστερά, ώστε δεξιά να μείνει μηδέν:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Προσθέτουμε τους αριθμούς:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Πρόκειται ακόμη για τον ίδιο κύκλο, απλώς σε άλλη γραφή. Η γενική μορφή γράφεται ως x² + y² + ax + by + c = 0. Πρόσεξε ότι στο x² και στο y² υπάρχει ο ίδιος αριθμός και ότι λείπει ο όρος x · y. Από αυτά τον κύκλο συνήθως τον αναγνωρίζουμε, τη βεβαιότητα όμως τη δίνει μόνο η μετατροπή πίσω στη μορφή με κέντρο και ακτίνα. Η εξίσωση x² + 4y² = 4 δεν περιγράφει πια κύκλο, είναι έλλειψη.

Από τη γενική μορφή το κέντρο και την ακτίνα δεν τα διαβάζουμε με την πρώτη ματιά, επομένως πρέπει να ξέρουμε να τη μετατρέπουμε πίσω.

Από τη γενική μορφή πίσω

Έχουμε την εξίσωση x² + y² + 6x − 8y = 0 και θέλουμε να βρούμε πού βρίσκεται το κέντρο του και ποια είναι η ακτίνα του. Χρησιμοποιούμε συμπλήρωση τετραγώνου, χωριστά για το x και χωριστά για το y. Πρώτα ομαδοποιούμε τους όρους ανά μεταβλητή:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Το μισό του έξι είναι τρία, όμως (x + 3)² = x² + 6x + 9, άρα προσθέσαμε ένα εννέα παραπάνω και πρέπει να το αφαιρέσουμε ξανά. Γι' αυτό x² + 6x = (x + 3)² − 9. Το μισό του μείον οκτώ είναι μείον τέσσερα, οπότε y² − 8y = (y − 4)² − 16. Αντικαθιστούμε:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Περνάμε τους αριθμούς στο δεύτερο μέλος:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Έτοιμο, αυτή είναι η μορφή με κέντρο και ακτίνα. Πρόσεξε τα πρόσημα, το κέντρο είναι S(−3, 4) και η ακτίνα $r=\sqrt{25}=5$. Η αρχική εξίσωση δεν είχε κανέναν αριθμό χωρίς μεταβλητή, γι' αυτό την επαληθεύει το σημείο (0, 0), και ο κύκλος περνά επομένως από την αρχή των αξόνων. Η επαλήθευση το επιβεβαιώνει: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Αν μετά τη συμπλήρωση τετραγώνου έβγαινε δεξιά αρνητικός αριθμός, δεν θα επρόκειτο για κύκλο, επειδή το άθροισμα δύο τετραγώνων δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Στην περίπτωση του μηδενός την εξίσωση θα την επαλήθευε μόνο το ίδιο το κέντρο.

Ανήκει το σημείο στον κύκλο;

Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στο πρώτο μέλος της μορφής με κέντρο και ακτίνα και συγκρίνουμε το αποτέλεσμα με το r². Παίρνουμε το σημείο A(1, 2) και τον πρώτο κύκλο (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Βγήκε 10, και αυτό είναι περισσότερο από 9. Το σημείο A απέχει επομένως από το κέντρο περισσότερο από την ακτίνα και βρίσκεται έξω από τον κύκλο. Για ακριβώς 9 θα βρισκόταν στον κύκλο, για μικρότερο αριθμό μέσα σε αυτόν.