Cirklens ligning

Cirklen består af alle punkter i planen, som har samme afstand r til centrum M. Cirklens ligning er den samme sætning, bare skrevet med koordinater: Punktet X(x, y) ligger på cirklen, netop når det har afstanden r til centrum M(m, n). Og afstanden mellem to punkter kan vi beregne med Pythagoras' sætning.

Vi forbinder centrum M med punktet X og tegner en vandret og en lodret katete, så der opstår en retvinklet trekant. Den vandrette katete har længden x − m, den lodrette y − n, og hypotenusen er radius r. Ifølge Pythagoras' sætning gælder altså

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Hvis punktet X lå til venstre for eller under centrum, ville differensen x − m eller y − n blive negativ. Det gør ikke noget, fordi et kvadrat aldrig er negativt. Hvis du kender længden af en vektor, genkender du her den samme formel: Venstre side er kvadratet på længden af vektoren $\overrightarrow{MX}$.

Ligningen opfyldes af koordinaterne til alle punkter på cirklen, og kun af dem. Et punkt, som ligger inde i cirklen, har en afstand til centrum, som er mindre end r, og venstre side bliver derfor mindre end r². For et punkt uden for cirklen går det omvendt.

Ligningen med centrum og radius

Ligningen

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

kalder vi cirklens ligning med centrum og radius. Det er den mest bekvemme form, fordi vi af den straks kan se både centrum M(m, n) og radius r.

Lad os prøve at opstille ligningen for en cirkel med centrum M(2, −1) og radius r = 3. Vi indsætter m = 2, n = −1 og r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Minus minus en er plus en, og tre i anden er ni:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Det er netop her, der bliver lavet flest fejl. Centrum M(2, −1) har i ligningen fortegnene omvendt: to optræder som −2, minus en som +1. Hvis du skriver (x + 2)² + (y − 1)² = 9, får du en cirkel med centrum (−2, 1), altså helt et andet sted. Den samme fælde lurer, når du skal aflæse: Af ligningen (x + 5)² + (y − 3)² = 16 aflæser vi centrum M(−5, 3), ikke (5, −3). Og en tredje faldgrube: Til højre står r², ikke r. Denne cirkel har radius $\sqrt{16}=4$, ikke seksten.

Den enkleste er en cirkel med centrum i origo (0, 0). Begge parenteser forenkles, og tilbage er ligningen x² + y² = r².

Cirkel givet ved en diameter

Ofte afslører opgaven hverken centrum eller radius direkte. Vi skal for eksempel finde cirklen, hvis diameter er linjestykket AB, hvor A(−1, 2) og B(5, −6).

Cirklens centrum ligger præcis midt på diameteren, så det er samtidig midtpunktet af linjestykket AB. Dets koordinater får vi som gennemsnittet af koordinaterne til punkterne A og B:

$$M=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Radius er halvdelen af diameteren, så først beregner vi længden af linjestykket AB. Differenserne mellem koordinaterne er 5 − (−1) = 6 og −6 − 2 = −8. Og vi bruger Pythagoras' sætning:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Diameteren er ti, radius er altså r = 5. Det ville være en fejl at indsætte hele længden |AB| som radius, så ville cirklen blive dobbelt så stor. Vi indsætter i ligningen med centrum og radius:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Vi laver prøven ved at indsætte punktet A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Det stemmer, punktet A ligger på cirklen.

Cirklens ligning på almen form

Når vi ganger parenteserne ud i ligningen med centrum og radius, får vi cirklens ligning på almen form. Vi tager udgangspunkt i den første cirkel (x − 2)² + (y + 1)² = 9 og kvadrerer begge parenteser efter formlerne (a − b)² = a² − 2ab + b² og (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Vi ordner leddene og flytter ni over til venstre, så der til højre står nul:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Vi lægger tallene sammen:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Det er stadig den samme cirkel, bare skrevet på en anden måde. Den almene form skrives som x² + y² + ax + by + c = 0. Læg mærke til, at der ved både x² og y² står det samme tal, og at leddet x · y mangler. Det kender vi som regel en cirkel på, men sikkerhed får vi først ved at omregne tilbage til ligningen med centrum og radius. Ligningen x² + 4y² = 4 beskriver ikke længere en cirkel, det er en ellipse.

Af den almene form kan vi ikke straks aflæse hverken centrum eller radius, så vi skal også kunne omregne den tilbage.

Tilbage fra den almene form

Vi har ligningen x² + y² + 6x − 8y = 0 og vil finde ud af, hvor centrum ligger, og hvad radius er. Vi bruger kvadratkomplettering, særskilt for x og særskilt for y. Først grupperer vi leddene efter variabel:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Halvdelen af seks er tre, men (x + 3)² = x² + 6x + 9, så vi har lagt ni for meget til og må trække det fra igen. Derfor er x² + 6x = (x + 3)² − 9. Halvdelen af minus otte er minus fire, så y² − 8y = (y − 4)² − 16. Vi indsætter:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Vi flytter tallene over på højre side:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Så er vi færdige, det her er ligningen med centrum og radius. Pas på fortegnene, centrum er M(−3, 4), og radius er $r=\sqrt{25}=5$. Den oprindelige ligning havde intet tal uden variabel, og derfor opfyldes den af punktet (0, 0), så cirklen går gennem origo. Prøven bekræfter det: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Hvis der efter kvadratkompletteringen kommer et negativt tal ud på højre side, er der ikke tale om en cirkel, fordi en sum af to kvadrater ikke kan være negativ. Ved nul ville kun selve centrum opfylde ligningen.

Ligger et punkt på cirklen?

Koordinaterne til punktet indsætter vi på venstre side af ligningen med centrum og radius, og resultatet sammenligner vi med r². Vi tager punktet A(1, 2) og den første cirkel (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Resultatet blev 10, og det er mere end 9. Punktet A er altså længere fra centrum end radius og ligger uden for cirklen. Ved præcis 9 ville det ligge på cirklen, ved et mindre tal inde i den.