Kreisgleichung

Ein Kreis besteht aus allen Punkten der Ebene, die vom Mittelpunkt S denselben Abstand r haben. Die Kreisgleichung ist genau diese Aussage, nur mit Koordinaten aufgeschrieben: Der Punkt X(x ∣ y) liegt genau dann auf dem Kreis, wenn er vom Mittelpunkt S(m ∣ n) genau den Abstand r hat. Und den Abstand zweier Punkte berechnet uns der Satz des Pythagoras.

Wir verbinden den Mittelpunkt S mit dem Punkt X und zeichnen eine waagerechte und eine senkrechte Kathete ein, sodass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Die waagerechte Kathete hat die Länge x − m, die senkrechte y − n, und die Hypotenuse ist der Radius r. Nach dem Satz des Pythagoras gilt also

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Läge der Punkt X links oder unterhalb des Mittelpunkts, käme die Differenz x − m oder y − n negativ heraus. Das macht nichts, denn ein Quadrat ist nie negativ. Wer den Betrag eines Vektors kennt, erkennt hier dieselbe Formel: Die linke Seite ist das Quadrat des Betrags des Vektors $\overrightarrow{SX}$.

Die Gleichung erfüllen die Koordinaten aller Punkte des Kreises und nur diese. Ein Punkt, der innerhalb des Kreises liegt, hat vom Mittelpunkt einen kleineren Abstand als r, und die linke Seite wird bei ihm deshalb kleiner als r². Bei einem Punkt außerhalb ist es umgekehrt.

Mittelpunktsform

Die Gleichung

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

nennen wir die Mittelpunktsform der Kreisgleichung. Das ist die bequemste Form, denn aus ihr sehen wir sofort sowohl den Mittelpunkt S(m ∣ n) als auch den Radius r.

Versuchen wir, die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt S(2 ∣ −1) und dem Radius r = 3 aufzustellen. Wir setzen m = 2, n = −1 und r = 3 ein:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Minus minus eins ist plus eins, und drei zum Quadrat ist neun:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Genau hier passieren die meisten Fehler. Der Mittelpunkt S(2 ∣ −1) hat in der Gleichung die Vorzeichen vertauscht: Die Zwei erscheint als −2, die minus eins als +1. Wer (x + 2)² + (y − 1)² = 9 schreibt, erhält einen Kreis mit dem Mittelpunkt (−2 ∣ 1), also ganz woanders. Dieselbe Falle lauert auch beim Ablesen: Aus der Gleichung (x + 5)² + (y − 3)² = 16 lesen wir den Mittelpunkt S(−5 ∣ 3) ab und nicht (5 ∣ −3). Und eine dritte Tücke: Rechts steht r², nicht r. Dieser Kreis hat den Radius $\sqrt{16}=4$ und nicht sechzehn.

Am einfachsten ist der Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung (0 ∣ 0). Beide Klammern vereinfachen sich, und es bleibt die Gleichung x² + y² = r².

Kreis mit gegebenem Durchmesser

Oft verrät uns die Aufgabe den Mittelpunkt und den Radius nicht gleich. Zum Beispiel sollen wir den Kreis finden, dessen Durchmesser die Strecke AB ist, wobei A(−1 ∣ 2) und B(5 ∣ −6).

Der Mittelpunkt des Kreises liegt genau in der Mitte des Durchmessers, ist also zugleich der Mittelpunkt der Strecke AB. Seine Koordinaten erhalten wir als Mittelwerte der Koordinaten der Punkte A und B:

$$S=(\frac{-1+5}{2}\mid \frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2}\mid \frac{-4}{2})=(2\mid -2)$$

Der Radius ist der halbe Durchmesser, also berechnen wir zuerst die Länge der Strecke AB. Die Koordinatendifferenzen sind 5 − (−1) = 6 und −6 − 2 = −8. Dann verwenden wir den Satz des Pythagoras:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Der Durchmesser ist zehn, der Radius also r = 5. Ein Fehler wäre es, als Radius die ganze Länge |AB| einzusetzen, der Kreis wäre dann doppelt so groß. Wir setzen in die Mittelpunktsform ein:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Die Probe machen wir, indem wir den Punkt A einsetzen: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Das passt, der Punkt A liegt auf dem Kreis.

Allgemeine Form

Wenn wir in der Mittelpunktsform die Klammern ausmultiplizieren, erhalten wir die allgemeine Form der Kreisgleichung. Wir gehen vom ersten Kreis (x − 2)² + (y + 1)² = 9 aus und quadrieren beide Klammern mit den Formeln (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Wir ordnen die Glieder und bringen die Neun nach links, damit rechts null steht:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Wir fassen die Zahlen zusammen:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Es handelt sich immer noch um denselben Kreis, nur in anderer Schreibweise. Die allgemeine Form schreibt man als x² + y² + ax + by + c = 0. Beachte, dass bei x² und y² dieselbe Zahl steht und das Glied x · y fehlt. Daran erkennt man einen Kreis in der Regel, Gewissheit gibt aber erst die Umwandlung zurück in die Mittelpunktsform. Die Gleichung x² + 4y² = 4 beschreibt keinen Kreis mehr, das ist eine Ellipse.

Aus der allgemeinen Form können wir Mittelpunkt und Radius nicht auf den ersten Blick ablesen, also müssen wir sie zurückverwandeln können.

Zurück aus der allgemeinen Form

Wir haben die Gleichung x² + y² + 6x − 8y = 0 und wollen herausfinden, wo ihr Mittelpunkt liegt und welchen Radius sie hat. Wir verwenden die quadratische Ergänzung, getrennt für x und für y. Zuerst gruppieren wir die Glieder nach der Variablen:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Die Hälfte von sechs ist drei, aber (x + 3)² = x² + 6x + 9, wir haben also eine Neun zu viel addiert und müssen sie wieder abziehen. Deshalb gilt x² + 6x = (x + 3)² − 9. Die Hälfte von minus acht ist minus vier, also y² − 8y = (y − 4)² − 16. Wir setzen ein:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Wir bringen die Zahlen auf die rechte Seite:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Fertig, das ist die Mittelpunktsform. Achte auf die Vorzeichen: Der Mittelpunkt ist S(−3 ∣ 4) und der Radius $r=\sqrt{25}=5$. Die ursprüngliche Gleichung hatte keine Zahl ohne Variable, deshalb erfüllt sie der Punkt (0 ∣ 0), und der Kreis geht somit durch den Ursprung. Die Probe bestätigt das: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Käme nach der quadratischen Ergänzung rechts eine negative Zahl heraus, wäre das kein Kreis, denn die Summe zweier Quadrate kann nicht negativ sein. Bei null würde die Gleichung nur der Mittelpunkt selbst erfüllen.

Liegt der Punkt auf dem Kreis?

Wir setzen die Koordinaten des Punktes in die linke Seite der Mittelpunktsform ein und vergleichen das Ergebnis mit r². Nehmen wir den Punkt A(1 ∣ 2) und den ersten Kreis (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Es kam 10 heraus, und das ist mehr als 9. Der Punkt A ist also weiter vom Mittelpunkt entfernt als der Radius und liegt außerhalb des Kreises. Bei genau 9 läge er auf dem Kreis, bei einer kleineren Zahl innerhalb.