Рівняння кола

Коло складається з усіх точок площини, які мають від центра S однакову відстань r. Рівняння кола — це те саме твердження, лише записане координатами: точка X(x; y) лежить на колі тоді й тільки тоді, коли віддалена від центра S(m; n) рівно на r. А відстань між двома точками нам обчислить теорема Піфагора.

З'єднаємо центр S з точкою X і добудуємо горизонтальний та вертикальний катети, так утвориться прямокутний трикутник. Горизонтальний катет має довжину x − m, вертикальний — y − n, а гіпотенуза — це радіус r. Отже, за теоремою Піфагора маємо

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Якби точка X лежала ліворуч від центра або під ним, різниця x − m чи y − n вийшла б від'ємною. Це не страшно, бо квадрат ніколи не буває від'ємним. Хто знає, як знайти довжину вектора, упізнає тут ту саму формулу: ліва частина — це квадрат довжини вектора $\overrightarrow{SX}$.

Рівняння задовольняють координати всіх точок кола й тільки вони. Точка, що лежить усередині кола, має від центра відстань, меншу за r, тож для неї ліва частина вийде меншою за r². Для точки поза колом буде навпаки.

Канонічний вигляд

Рівняння

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

називаємо канонічним виглядом рівняння кола. Це найзручніший вигляд, бо з нього одразу видно центр S(m; n) і радіус r.

Спробуймо скласти рівняння кола з центром S(2; −1) і радіусом r = 3. Підставляємо m = 2, n = −1 та r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Мінус мінус один — це плюс один, а три в квадраті — дев'ять:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Саме тут трапляється найбільше помилок. Центр S(2; −1) має в рівнянні протилежні знаки: двійка з'являється як −2, мінус одиниця — як +1. Хто запише (x + 2)² + (y − 1)² = 9, отримає коло з центром (−2; 1), тобто зовсім в іншому місці. Така сама пастка чекає й при читанні: з рівняння (x + 5)² + (y − 3)² = 16 ми визначимо центр S(−5; 3), а не (5; −3). І третя підступність: праворуч стоїть r², а не r. Це коло має радіус $\sqrt{16}=4$, а не шістнадцять.

Найпростіше коло — з центром у початку координат (0; 0). Обидві дужки спрощуються, і лишається рівняння x² + y² = r².

Коло із заданим діаметром

Часто умова не видає ні центра, ні радіуса одразу. Наприклад, треба знайти коло, діаметром якого є відрізок AB, де A(−1; 2) і B(5; −6).

Центр кола лежить точно посередині діаметра, тож він водночас є серединою відрізка AB. Його координати знаходимо як середні арифметичні координат точок A і B:

$$S=(\frac{-1+5}{2};\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2};\frac{-4}{2})=(2;-2)$$

Радіус дорівнює половині діаметра, тож спершу обчислимо довжину відрізка AB. Різниці координат — 5 − (−1) = 6 і −6 − 2 = −8. Користуємося теоремою Піфагора:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Діаметр дорівнює десяти, тож радіус r = 5. Помилкою було б підставити замість радіуса всю довжину |AB|, тоді коло вийшло б удвічі більшим. Підставляємо в канонічний вигляд:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Перевірку зробимо підстановкою точки A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Збігається, точка A лежить на колі.

Загальний вигляд

Якщо в канонічному вигляді розкрити дужки, отримаємо загальний вигляд рівняння кола. Виходимо з першого кола (x − 2)² + (y + 1)² = 9 і підносимо обидві дужки до квадрата за формулами (a − b)² = a² − 2ab + b² та (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Упорядковуємо доданки й дев'ятку переносимо ліворуч, щоб праворуч залишився нуль:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Додаємо числа:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Це все те саме коло, лише в іншому записі. Загальний вигляд записують як x² + y² + ax + by + c = 0. Зверни увагу: біля x² і y² стоїть те саме число, а доданка x · y немає. За цим коло зазвичай і впізнають, проте певність дає лише перехід назад до канонічного вигляду. Рівняння x² + 4y² = 4 уже не описує коло, це еліпс.

Із загального вигляду центр і радіус одразу не прочитаєш, тож треба вміти переходити назад.

Від загального вигляду назад

Маємо рівняння x² + y² + 6x − 8y = 0 і хочемо дізнатися, де його центр і який радіус. Скористаємося виділенням повного квадрата, окремо для x й окремо для y. Спочатку групуємо доданки за змінною:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Половина від шістки — три, але (x + 3)² = x² + 6x + 9, тож ми додали зайву дев'ятку, і її треба відняти. Тому x² + 6x = (x + 3)² − 9. Половина від мінус вісімки — мінус чотири, тож y² − 8y = (y − 4)² − 16. Підставляємо:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Числа переносимо в праву частину:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Готово, це канонічний вигляд. Уважно стеж за знаками: центр — S(−3; 4), а радіус $r=\sqrt{25}=5$. У початковому рівнянні не було жодного числа без змінної, тому його задовольняє точка (0; 0), а отже, коло проходить через початок координат. Перевірка це підтверджує: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Якби після виділення повного квадрата праворуч вийшло від'ємне число, це було б не коло, бо сума двох квадратів не може бути від'ємною. Якщо ж вийде нуль, рівняння задовольнятиме лише сам центр.

Чи лежить точка на колі?

Координати точки підставляємо в ліву частину канонічного вигляду й порівнюємо результат із r². Візьмемо точку A(1; 2) і перше коло (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Вийшло 10, а це більше за 9. Отже, точка A віддалена від центра більше, ніж радіус, і лежить поза колом. Якби вийшло рівно 9, вона лежала б на колі, а якби менше — всередині.