Vergelijking van een cirkel

Een cirkel bestaat uit alle punten van het vlak die dezelfde afstand r tot het middelpunt M hebben. De vergelijking van een cirkel is dezelfde zin, alleen opgeschreven met coördinaten: het punt X(x, y) ligt op de cirkel precies dan als het op afstand r van het middelpunt M(a, b) ligt. En de afstand tussen twee punten berekenen we met de stelling van Pythagoras.

We verbinden het middelpunt M met het punt X en tekenen een horizontale en een verticale rechthoekszijde bij, waardoor een rechthoekige driehoek ontstaat. De horizontale rechthoekszijde heeft lengte x − a, de verticale y − b en de schuine zijde is de straal r. Volgens de stelling van Pythagoras geldt dus

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$$

Als punt X links van of onder het middelpunt zou liggen, zou het verschil x − a of y − b negatief uitkomen. Dat maakt niet uit, want een kwadraat is nooit negatief. Wie de lengte van een vector kent, herkent dezelfde formule: de linkerkant is het kwadraat van de lengte van de vector $\overrightarrow{MX}$.

De coördinaten van alle punten van de cirkel voldoen aan de vergelijking, en alleen die. Een punt dat binnen de cirkel ligt, heeft een afstand tot het middelpunt die kleiner is dan r, en de linkerkant komt daarom kleiner uit dan r². Bij een punt buiten de cirkel gaat het andersom.

Middelpuntsvorm

De vergelijking

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

noemen we de middelpuntsvorm van de cirkelvergelijking. Het is de handigste vorm, want daaruit zien we meteen het middelpunt M(a, b) en de straal r.

We proberen de vergelijking op te stellen van de cirkel met middelpunt M(2, −1) en straal r = 3. We vullen a = 2, b = −1 en r = 3 in:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Min min één is plus één en drie in het kwadraat is negen:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Precies hier worden de meeste fouten gemaakt. Het middelpunt M(2, −1) staat in de vergelijking met omgekeerde tekens: de twee verschijnt als −2, min één als +1. Wie (x + 2)² + (y − 1)² = 9 schrijft, krijgt een cirkel met middelpunt (−2, 1), dus helemaal ergens anders. Dezelfde valkuil ligt er bij het aflezen: uit de vergelijking (x + 5)² + (y − 3)² = 16 lezen we het middelpunt M(−5, 3) af, niet (5, −3). En een derde valkuil: rechts staat r², niet r. Deze cirkel heeft straal $\sqrt{16}=4$, niet zestien.

Het eenvoudigst is de cirkel met middelpunt in de oorsprong (0, 0). Beide haakjes worden eenvoudiger en er blijft de vergelijking x² + y² = r² over.

Cirkel gegeven door de diameter

Vaak verraadt de opgave het middelpunt en de straal niet meteen. We moeten bijvoorbeeld de cirkel vinden waarvan lijnstuk AB de diameter is, waarbij A(−1, 2) en B(5, −6).

Het middelpunt van de cirkel ligt precies in het midden van de diameter, dus het is tegelijk het midden van lijnstuk AB. De coördinaten vinden we als gemiddelden van de coördinaten van de punten A en B:

$$M=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

De straal is de helft van de diameter, dus eerst berekenen we de lengte van lijnstuk AB. De verschillen van de coördinaten zijn 5 − (−1) = 6 en −6 − 2 = −8. En we gebruiken de stelling van Pythagoras:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

De diameter is tien, de straal is dus r = 5. Het zou een fout zijn om voor de straal de hele lengte |AB| in te vullen, de cirkel zou dan twee keer zo groot zijn. We vullen in de middelpuntsvorm in:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

De controle doen we door het punt A in te vullen: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Klopt, punt A ligt op de cirkel.

Algemene vorm

Als we in de middelpuntsvorm de haakjes uitwerken, krijgen we de algemene vorm van de cirkelvergelijking. We gaan uit van de eerste cirkel (x − 2)² + (y + 1)² = 9 en werken beide kwadraten uit met de formules (u − v)² = u² − 2uv + v² en (u + v)² = u² + 2uv + v²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

We ordenen de termen en brengen de negen naar links, zodat rechts nul overblijft:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

We tellen de getallen op:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Het is nog steeds dezelfde cirkel, alleen anders opgeschreven. De algemene vorm schrijven we als x² + y² + px + qy + s = 0. Let op dat bij x² en y² hetzelfde getal staat en dat de term x · y ontbreekt. Daaraan herkennen we een cirkel meestal, maar zekerheid geeft pas het terugrekenen naar de middelpuntsvorm. De vergelijking x² + 4y² = 4 beschrijft geen cirkel meer, het is een ellips.

Uit de algemene vorm kunnen we het middelpunt en de straal niet in één oogopslag aflezen, dus we moeten haar kunnen terugrekenen.

Van de algemene vorm terug

We hebben de vergelijking x² + y² + 6x − 8y = 0 en willen weten waar het middelpunt ligt en wat de straal is. We gebruiken kwadraat afsplitsen, apart voor x en apart voor y. Eerst groeperen we de termen per variabele:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

De helft van zes is drie, maar (x + 3)² = x² + 6x + 9, dus we hebben een negen te veel toegevoegd en die moeten we weer aftrekken. Daarom is x² + 6x = (x + 3)² − 9. De helft van min acht is min vier, dus y² − 8y = (y − 4)² − 16. We vullen in:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

We brengen de getallen naar de rechterkant:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Klaar, dit is de middelpuntsvorm. Let op de tekens, het middelpunt is M(−3, 4) en de straal is $r=\sqrt{25}=5$. De oorspronkelijke vergelijking had geen getal zonder variabele, en daarom voldoet het punt (0, 0) eraan, en de cirkel gaat dus door de oorsprong. De controle bevestigt dat: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Komt er na het kwadraat afsplitsen rechts een negatief getal uit, dan is het geen cirkel, want een som van twee kwadraten kan niet negatief zijn. Bij nul zou alleen het middelpunt zelf aan de vergelijking voldoen.

Ligt een punt op de cirkel?

De coördinaten van het punt vullen we in de linkerkant van de middelpuntsvorm in en het resultaat vergelijken we met r². We nemen het punt A(1, 2) en de eerste cirkel (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Er kwam 10 uit, en dat is meer dan 9. Punt A ligt dus verder van het middelpunt dan de straal, en ligt buiten de cirkel. Bij precies 9 zou het op de cirkel liggen, bij een kleiner getal erbinnen.