Równanie okręgu

Okrąg tworzą wszystkie punkty płaszczyzny, które mają od środka S taką samą odległość r. Równanie okręgu to to samo zdanie, tylko zapisane za pomocą współrzędnych: punkt X = (x, y) leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jest oddalony od środka S = (m, n) dokładnie o r. A odległość dwóch punktów policzy nam twierdzenie Pitagorasa.

Łączymy środek S z punktem X i dorysowujemy poziomą i pionową przyprostokątną, dzięki czemu powstaje trójkąt prostokątny. Pozioma przyprostokątna ma długość x − m, pionowa y − n, a przeciwprostokątna to promień r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika więc, że

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Gdyby punkt X leżał na lewo od środka albo pod nim, różnica x − m lub y − n wyszłaby ujemna. To nie szkodzi, bo kwadrat nigdy nie jest ujemny. Kto zna długość wektora, rozpozna tu ten sam wzór: lewa strona to kwadrat długości wektora $\overrightarrow{SX}$.

Równanie spełniają współrzędne wszystkich punktów okręgu i tylko ich. Punkt leżący wewnątrz okręgu ma od środka odległość mniejszą niż r, więc lewa strona wyjdzie dla niego mniejsza niż r². Dla punktu na zewnątrz jest odwrotnie.

Postać kanoniczna

Równanie

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

nazywamy postacią kanoniczną równania okręgu. To najwygodniejsza postać, bo od razu widać z niej środek S = (m, n) i promień r.

Spróbujmy ułożyć równanie okręgu o środku S = (2, −1) i promieniu r = 3. Podstawiamy m = 2, n = −1 i r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Minus minus jeden to plus jeden, a trzy do kwadratu to dziewięć:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Właśnie tu robi się najwięcej błędów. Środek S = (2, −1) ma w równaniu znaki odwrotne: dwójka pojawia się jako −2, minus jedynka jako +1. Kto napisze (x + 2)² + (y − 1)² = 9, dostanie okrąg o środku (−2, 1), czyli zupełnie gdzie indziej. Ta sama pułapka czyha przy odczytywaniu: z równania (x + 5)² + (y − 3)² = 16 odczytamy środek S = (−5, 3), a nie (5, −3). I trzecia podstępna rzecz: po prawej stronie jest r², a nie r. Ten okrąg ma promień $\sqrt{16}=4$, a nie szesnaście.

Najprostszy jest okrąg o środku w początku układu (0, 0). Oba nawiasy się upraszczają i zostaje równanie x² + y² = r².

Okrąg wyznaczony przez średnicę

Często zadanie nie zdradza od razu ani środka, ani promienia. Mamy na przykład znaleźć okrąg, którego średnicą jest odcinek AB, gdzie A = (−1, 2) i B = (5, −6).

Środek okręgu leży dokładnie w połowie średnicy, więc jest zarazem środkiem odcinka AB. Jego współrzędne dostajemy jako średnie arytmetyczne współrzędnych punktów A i B:

$$S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Promień to połowa średnicy, więc najpierw obliczamy długość odcinka AB. Różnice współrzędnych wynoszą 5 − (−1) = 6 i −6 − 2 = −8. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Średnica wynosi dziesięć, promień jest więc równy r = 5. Błędem byłoby podstawić za promień całą długość |AB|, bo okrąg byłby wtedy dwa razy większy. Podstawiamy do postaci kanonicznej:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Sprawdzenie zrobimy, podstawiając punkt A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Zgadza się, punkt A leży na okręgu.

Postać ogólna

Gdy w postaci kanonicznej wymnożymy nawiasy, dostaniemy postać ogólną równania okręgu. Wyjdźmy od pierwszego okręgu (x − 2)² + (y + 1)² = 9 i podnieśmy oba nawiasy do kwadratu według wzorów (a − b)² = a² − 2ab + b² i (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Porządkujemy wyrazy i dziewiątkę przenosimy na lewą stronę, żeby po prawej stronie zostało zero:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Dodajemy liczby:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Wciąż jest to ten sam okrąg, tylko w innym zapisie. Postać ogólną zapisujemy jako x² + y² + ax + by + c = 0. Zauważ, że przy x² i y² stoi ta sama liczba, a wyrazu x · y nie ma. Po tym zwykle poznajemy okrąg, ale pewność daje dopiero przejście z powrotem do postaci kanonicznej. Równanie x² + 4y² = 4 nie opisuje już okręgu, to elipsa.

Z postaci ogólnej nie odczytamy środka ani promienia na pierwszy rzut oka, więc trzeba umieć przejść z powrotem.

Z postaci ogólnej z powrotem

Mamy równanie x² + y² + 6x − 8y = 0 i chcemy ustalić, gdzie leży jego środek i ile wynosi promień. Użyjemy sprowadzenia do postaci kanonicznej, osobno dla x i osobno dla y. Najpierw grupujemy wyrazy według zmiennej:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Połowa szóstki to trzy, ale (x + 3)² = x² + 6x + 9, więc dodaliśmy dziewiątkę za dużo i musimy ją z powrotem odjąć. Dlatego x² + 6x = (x + 3)² − 9. Połowa z minus ósemki to minus cztery, więc y² − 8y = (y − 4)² − 16. Podstawiamy:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Liczby przenosimy na prawą stronę:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Gotowe, to jest postać kanoniczna. Uważaj na znaki: środek to S = (−3, 4), a promień $r=\sqrt{25}=5$. Wyjściowe równanie nie miało żadnej liczby bez zmiennej, dlatego spełnia je punkt (0, 0), a okrąg przechodzi więc przez początek układu. Sprawdzenie to potwierdza: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Gdyby po uzupełnieniu do pełnego kwadratu po prawej wyszła liczba ujemna, nie byłby to okrąg, bo suma dwóch kwadratów nie może być ujemna. Przy zerze równanie spełniałby tylko sam środek.

Czy punkt leży na okręgu?

Współrzędne punktu podstawiamy do lewej strony postaci kanonicznej i wynik porównujemy z r². Weźmy punkt A = (1, 2) i pierwszy okrąg (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Wyszło 10, a to więcej niż 9. Punkt A jest więc od środka dalej, niż wynosi promień, i leży na zewnątrz okręgu. Przy dokładnie 9 leżałby na okręgu, przy mniejszej liczbie wewnątrz.