A kör egyenlete

A kört a sík azon pontjai alkotják, amelyek az S középponttól ugyanakkora, r távolságra vannak. A kör egyenlete ugyanez az állítás, csak koordinátákkal felírva: az X(x; y) pont akkor és csak akkor van a körön, ha az S(m; n) középponttól pontosan r távolságra van. Két pont távolságát pedig a Pitagorasz-tétel adja meg.

Az S középpontot összekötjük az X ponttal, és berajzolunk egy vízszintes és egy függőleges befogót, így derékszögű háromszöget kapunk. A vízszintes befogó hossza x − m, a függőlegesé y − n, az átfogó pedig a sugár, r. A Pitagorasz-tétel szerint tehát

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Ha az X pont a középponttól balra vagy alatta volna, az x − m vagy az y − n különbség negatív lenne. Ez nem baj, mert egy szám négyzete soha nem negatív. Aki ismeri a vektor hosszának kiszámítását, ugyanezt a képletet ismeri fel: a bal oldal az $\overrightarrow{SX}$ vektor hosszának négyzete.

Az egyenletet a kör összes pontjának koordinátái kielégítik, és csak azokéi. A körön belül fekvő pont távolsága a középponttól kisebb, mint r, így a bal oldal értéke kisebb lesz, mint r². A körön kívüli pontnál ez fordítva alakul.

Középponti alak

Az

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

egyenletet a kör egyenletének középponti alakjának nevezzük. Ez a legkényelmesebb alak, mert belőle rögtön látszik az S(m; n) középpont és az r sugár is.

Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja S(2; −1), sugara pedig r = 3. Behelyettesítünk: m = 2, n = −1 és r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Mínusz mínusz egy az plusz egy, a három négyzete pedig kilenc:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Itt követik el a legtöbb hibát. Az S(2; −1) középpont előjelei az egyenletben fordítva szerepelnek: a kettes −2 alakban jelenik meg, a mínusz egy +1 alakban. Aki azt írja, hogy (x + 2)² + (y − 1)² = 9, a (−2; 1) középpontú kört kapja, vagyis egészen máshol lévőt. Ugyanez a csapda olvasáskor is leselkedik: az (x + 5)² + (y − 3)² = 16 egyenletből az S(−5; 3) középpontot olvassuk ki, nem az (5; −3) pontot. A harmadik buktató: a jobb oldalon r² áll, nem r. Ennek a körnek a sugara $\sqrt{16}=4$, nem tizenhat.

A legegyszerűbb az origó, vagyis az (0; 0) pont körüli kör. Mindkét zárójel leegyszerűsödik, és az x² + y² = r² egyenlet marad.

Átmérővel adott kör

A feladat gyakran nem árulja el rögtön a középpontot és a sugarat. Például olyan kört keresünk, amelynek átmérője az AB szakasz, ahol A(−1; 2) és B(5; −6).

A kör középpontja pontosan az átmérő közepén van, tehát egyben az AB szakasz felezőpontja. A koordinátáit az A és B pont koordinátáinak átlagaként kapjuk:

$$S=(\frac{-1+5}{2};\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2};\frac{-4}{2})=(2;-2)$$

A sugár az átmérő fele, ezért először kiszámítjuk az AB szakasz hosszát. A koordináták különbségei 5 − (−1) = 6 és −6 − 2 = −8. Ezután jön a Pitagorasz-tétel:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Az átmérő tíz, a sugár tehát r = 5. Hiba volna a sugár helyére a teljes |AB| hosszat írni, mert akkor a kör kétszer akkora lenne. Behelyettesítünk a középponti alakba:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Ellenőrzésként behelyettesítjük az A pontot: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Stimmel, az A pont a körön van.

Általános alak

Ha a középponti alakban felbontjuk a zárójeleket, megkapjuk a kör egyenletének általános alakját. Induljunk ki az első körből, (x − 2)² + (y + 1)² = 9, és emeljük négyzetre mindkét zárójelet az (a − b)² = a² − 2ab + b² és az (a + b)² = a² + 2ab + b² képlettel:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

A tagokat sorba rendezzük, a kilencest pedig átvisszük balra, hogy jobbra nulla maradjon:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Összeadjuk a számokat:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Ez még mindig ugyanaz a kör, csak másképp felírva. Az általános alak így néz ki: x² + y² + ax + by + c = 0. Figyeld meg, hogy az x² és az y² együtthatója ugyanaz, és az x · y tag hiányzik. Ebből a kört általában felismerjük, de biztosat csak az ad, ha visszaalakítjuk középponti alakra. Az x² + 4y² = 4 egyenlet már nem kört ír le, hanem ellipszist.

Az általános alakból a középpont és a sugár első ránézésre nem olvasható ki, ezért tudnunk kell visszaalakítani.

Vissza az általános alakból

Adott az x² + y² + 6x − 8y = 0 egyenlet, és meg akarjuk tudni, hol van a középpontja és mekkora a sugara. Teljes négyzetté alakítást használunk, külön az x-re és külön az y-ra. Először változók szerint csoportosítjuk a tagokat:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

A hatos fele három, de (x + 3)² = x² + 6x + 9, tehát egy kilencest feleslegesen hozzáadtunk, és ezt vissza kell vonnunk. Ezért x² + 6x = (x + 3)² − 9. A mínusz nyolc fele mínusz négy, így y² − 8y = (y − 4)² − 16. Behelyettesítünk:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

A számokat átvisszük a jobb oldalra:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Kész, ez a középponti alak. Vigyázz az előjelekre: a középpont S(−3; 4), a sugár pedig $r=\sqrt{25}=5$. Az eredeti egyenletben nem volt változó nélküli szám, ezért kielégíti az (0; 0) pont, a kör tehát átmegy az origón. Az ellenőrzés ezt megerősíti: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Ha a teljes négyzetté alakítás után a jobb oldalon negatív szám jönne ki, nem kört kapunk, mert két négyzet összege nem lehet negatív. Nulla esetén az egyenletet csak maga a középpont elégítené ki.

Rajta van-e a pont a körön?

Egy pont koordinátáit behelyettesítjük a középponti alak bal oldalába, és az eredményt összehasonlítjuk r²-tel. Vegyük az A(1; 2) pontot és az első kört, (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

10 jött ki, és ez több, mint 9. Az A pont tehát messzebb van a középponttól, mint a sugár, vagyis a körön kívül van. Pontosan 9 esetén a körön volna, kisebb szám esetén a körön belül.