楕円

楕円は2次曲線の1つです。楕円の基本的な性質は、楕円上のどの点についても、平面上の決められた2つの点からの距離の和が等しいことです。この2つの点を焦点といいます。

楕円の形

2つの点 E と F を、楕円 e の焦点とします。このとき、楕円 e 上のどの点 X についても、次の式が成り立たなければなりません。

$| X E | + | X F | = K,$

ここで K はある定数です。つまり、この数は楕円上のすべての点で同じです。E = F の場合は円になり、|XE|+|XF| は円の直径に等しくなります（つまり |XE| は円の半径でなければなりません）。楕円の図は次のとおりです。

焦点 E と F をもつ楕円

焦点からの距離の和が等しいので、和 |EK|+|FK| と和 |EL|+|FL| は等しくなります。楕円上のほかのすべての点でも同じです。

楕円の各部分と性質

楕円には焦点が2つあり、これを E と F とします。
楕円には、2つの長軸の頂点 A と B と、2つの短軸の頂点 C と D があります。
楕円の中心（図では点 S）は、線分 EF の中点、つまり2つの焦点の真ん中にあります。
長軸の頂点（と焦点）を通る直線を楕円の長軸、短軸の頂点を通る直線を楕円の短軸といいます。
長軸の頂点の1つと楕円の中心を結ぶ線分を長半径（長軸の半分）といいます。図では線分 AS と BS です。
短軸の頂点の1つと楕円の中心を結ぶ線分を短半径（短軸の半分）といいます。図では線分 CS と DS です。
楕円上の点と2つの焦点を結ぶ線分の長さの和である定数 K は、線分 AB の長さに等しくなります。これは、点 B について和を計算してみるとよくわかります。点 B では、和は |FB|+|EB| です。線分 EB は線分 AB のほとんどをおおい、残りの部分である線分 AE は線分 FB と同じ長さです。したがって、|FB|+|EB| = |AB| です。

中心から焦点までの距離

楕円でもう1つ大切な定数は、中心から焦点までの距離で、e で表します。つまり e = |ES| = |FS| です。（日本の教科書の「離心率」はこの距離そのものではなく、この距離を長半径で割った比です。）この距離はどうやって計算できるでしょうか。まず、距離 |ED| と |FD| がいくつになるかを調べます。

距離 |ED| はいくつか

和 K は長さ |AB| に等しいことがわかっています。また、図から、直線 CD は楕円の対称軸なので、線分 ED と FD は同じ長さになることがわかります。したがって、どちらの線分の長さも |AB| の長さの半分、つまり長半径の長さに等しくなります。長半径の長さを a、短半径の長さを b とすると、次の図が得られます。

中心から焦点までの距離（緑）を示した楕円

これで、中心から焦点までの距離は、三平方の定理を使って次のように表せます。

$e = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

楕円が円に近いほど、つまりつぶれ方が小さいほど、この距離は小さくなります。

楕円の方程式

楕円の方程式はどうやって導けばよいでしょうか。まず、扱いやすい楕円が必要です。そこで、長軸と短軸が x 軸と y 軸に平行で、中心が座標の原点、つまり座標 (0, 0) にある楕円を選びます。たとえば次のような楕円です。

中心が原点にある楕円

図で青く示した点 X は、一般にどう表せばよいでしょうか。楕円の定義から、次の式が成り立つはずです。

$| E X | + | F X | = | A B |$

線分 AB の長さは長半径 a の2倍に等しいので、次のように書けます。

$| E X | + | F X | = 2 a$

次に、線分 EX と FX の長さを式で表します。線分 FX から始めます。直角三角形ができるように、図にさらに2本の線分をかき加えます。

直角三角形を示した楕円

点 X の座標は (x, y) なので、線分 PX の長さは点 X の y 座標に等しく、|PX| = y です。PF の長さは |e − x| です。三平方の定理から、次の式が成り立ちます。

$| F X | = \sqrt{| e - x |^{2} + y^{2}} = \sqrt{(x - e)^{2} + y^{2}}$

|FX| と同じように、|EX| も表します。PX の長さは同じく y で、PE の長さは x + e に等しくなります。すると、次のようになります。

$| E X | = \sqrt{(x + e)^{2} + y^{2}}$

これらの新しい式を、前の式に代入します。

$\sqrt{(x + e)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - e)^{2} + y^{2}} = 2 a$

ここから多くの変形を重ねると、最後に次のきれいな形が得られます。

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

ただし、この方程式は中心が原点にある楕円の場合です。もっと一般的な方程式を得るには、楕円の中心の座標も方程式に入れる必要があります。点 (m, n) を中心とする楕円の方程式は次のとおりです。

長軸が x 軸に平行なとき：

$\frac{(x - m)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - n)^{2}}{b^{2}} = 1$

長軸が y 軸に平行なとき：

$\frac{(x - m)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y - n)^{2}}{a^{2}} = 1$

例：方程式が本当に成り立つことを確かめるために、図の点 X を代入してみましょう。図では a = 5, b = 4、X(2.31, 3.55) です（点の座標は四捨五入した値なので、結果も最後に四捨五入する必要があります）。左辺に代入すると、次のようになります。

$\frac{{2.31}^{2}}{5^{2}} + \frac{{3.55}^{2}}{4^{2}} = \frac{5.3361}{25} + \frac{12.6025}{16} = 0.213444 + 0.78765625 ≒ 1$

こうして、等式 1 = 1 が得られました。

計算ツール

長半径と短半径の長さを入力してください。楕円の面積は π · a · b です。楕円の周の長さは正確な公式では計算できないので、計算ツールはラマヌジャンの近似式を使います。この近似式は、本当の値とほとんどちがいません。

章: 2次曲線, 楕円, 双曲線, 放物線, 直角三角形の相似から得られる関係（ユークリッドの定理）

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