Esimerkkejä vektoriavaruuksista

Edellisessä osassa määriteltiin vektoriavaruudet, eli lineaariavaruudet, ja katsottiin esimerkki klassisesta vektoriavaruudesta ℝ². Tässä artikkelissa tutustutaan muihin esimerkkeihin.

Vektoriavaruus Rⁿ

Tunnetaan jo vektoriavaruus ℝ², joka koostuu muotoa (a, b) olevista vektoreista, missä a, b ovat reaalilukuja. Osoitetaan, että itse asiassa mikä tahansa järjestettyjen n-monikkojen joukko ℝⁿ, kun n > 0, muodostaa vektoriavaruuden.

Kun n = 2, saadaan parien joukko (a, b). Jos n kasvatetaan arvoon n = 3, saadaan kolmikoiden joukko. Näin tasosta siirrytään avaruuteen. ℝ² esittää siis klassista tasoa ja ℝ³ klassista kolmiulotteista avaruutta.

Yhteen- ja kertolaskun määritelmät ovat samat kuin tapauksessa n = 2, vain nyt täytyy aina laskea yhteen tai kertoa vektorien kaikki osat:

$$\begin{array}{rcl}(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n)& =& (a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1,a_2,\dots ,a_n)& =& (k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n)\end{array}$$

Nyt pitäisi todistaa, että vektoriavaruus ℝ³, tai yleisesti ℝⁿ, toteuttaa kaikki seitsemän kohtaa vektoriavaruuksien määritelmästä. Todistukset olisivat kuitenkin lähes samat, vain kaksikomponenttisen vektorin sijaan työskenneltäisiin kolmikomponenttisen vektorin kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kohta, joka koskee vektorien yhteenlaskun vaihdannaisuutta, todistettaisiin tapauksessa n = 3 näin:

Pitää todistaa: x + y = y + x, missä x, y ∈ ℝ³. Kirjoitettaisiin auki kahden vektorin yhteenlasku:

$$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$$

Kun vasemmalla puolella vektorit vaihdetaan keskenään, saadaan:

$$(d,e,f)+(a,b,c)=(d+a,e+b,f+c)$$

Kahden reaaliluvun yhteenlaskun ominaisuudesta kuitenkin seuraa, että nämä tulosvektorit ovat samat, eli (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Jos tätä verrataan edellisen artikkelin todistukseen tapauksessa n = 2, huomataan, että todistus on käytännössä sama. Muut kuusi kohtaa voidaan siis todistaa samaan tapaan.

Mielenkiintoista on kuitenkin se, että myös ℝ¹ = ℝ, reaalilukujen joukko itse, on vektoriavaruus. Vektorien yhteen- ja kertolasku muuttuvat silloin tavalliseksi reaalilukujen yhteen- ja kertolaskuksi, ja reaalilukujen yhteen- ja kertolasku varmasti toteuttavat kaikki 7 kohtaa.

Avaruuteen ℝⁿ törmätään varmasti vielä, se on melko tavallinen vektoriavaruus.

Matriisien m × n vektoriavaruus

Kaikkien matriisien, joissa on m riviä ja n saraketta ja joissa on pelkkiä reaalilukuja, joukko muodostaa yhdessä matriisien yhteenlaskun ja matriisin skalaarilla kertomisen kanssa vektoriavaruuden. Lyhyesti tätä avaruutta merkitään ℝ^{m × n}.

Kun m = 2, n = 3, saataisiin matriisit, joissa on kaksi riviä ja kolme saraketta. Esimerkki konkreettisesta matriisista on

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

Yhteenlasku määritellään näin:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Tavallinen matriisien yhteenlasku. Skalaarilla kertominen määritellään samaan tapaan:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Näin määritellyillä laskutoimituksilla kaikkien matriisien joukko ℝ^{m × n} muodostaa vektoriavaruuden. Tärkeää on, että täytyy aina ottaa kaikkien samaa tyyppiä olevien matriisien joukko. Jos mukaan eksyisi erityyppinen matriisi, esimerkiksi jos joukkoon ℝ^{2 × 2} lisättäisiin tyyppiä 3 × 1 oleva matriisi, olisi ongelma, koska tyyppiä 3 × 1 olevaa matriisia ei voi edes laskea yhteen tyyppiä 2 × 2 olevan matriisin kanssa.

Nyt pitäisi taas tarkistaa, että näin määritelty vektoriavaruus toteuttaa kaikki 7 ehtoa, jotka vektoriavaruudelle asetetaan. Koska matriisien kohdalla kirjoittamista tulisi liikaa, ainakin minulle, käydään asia läpi lyhyesti:

Kahden matriisin summa antaa uuden samaa tyyppiä olevan matriisin. Skalaarilla kertominen antaa uuden samaa tyyppiä olevan matriisin, joten laskutoimitukset sopivat tyypeiltään yhteen.

1. x + y = y + x: matriisien yhteenlasku on selvästi vaihdannainen, koska tulosmatriisin koordinaateissa ij oleva alkio on muotoa x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): matriisien yhteenlasku on myös liitännäinen, koska (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: taas pätee a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: taas koordinaateissa ij olevien alkioiden kohdalla saadaan yhtälö: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: ilmaistaan taas vain koordinaateissa ij oleva alkio: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: koska 1 · x_ij = x_ij, tämäkin kohta pätee.
• Nolla-alkion olemassaolo. Se on nollamatriisi, koska kaikille tämän avaruuden matriiseille x pätee 0 · x_ij = 0

Polynomien vektoriavaruus

Polynomia merkitään p(x) ja se on seuraavaa muotoa oleva lauseke:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Oletetaan, että a_n ≠ 0. Tällaisen polynomin aste on silloin täsmälleen luku n. Reaalilukuja a₀, …, a_n sanotaan polynomin kertoimiksi. Esimerkki polynomista on lauseke 4 + 3x − 7x², missä a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 ja polynomin aste on 2. Jotkin kertoimet voivat olla nollia, joten lauseke x² + π x⁷ on astetta 7 oleva polynomi, jossa a₂ = 1, a₇ = π ja muut kertoimet ovat nollia.

Polynomeja voi laskea helposti yhteen – yksinkertaisesti lasketaan yhteen niiden kertoimet. Esimerkki:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

Yleisesti polynomien yhteenlasku voitaisiin määritellä näin:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

missä q on luvuista m ja n suurempi. Polynomin p(x) k-kertainen saadaan kertomalla luvulla k kaikki kertoimet:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Esimerkkinä:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

Kaikkien polynomien joukko, merkitään sitä P(X), muodostaa näin määriteltyjen yhteen- ja kertolaskun kanssa vektoriavaruuden. Todentaminen:

Kahden polynomin summa antaa taas polynomin, ja skalaarilla kertominenkin muodostaa uuden polynomin. Määritellyt laskutoimitukset sopivat tyypeiltään yhteen.

Muut seitsemän ominaisuutta, jotka vektoriavaruuden täytyy toteuttaa, voit todentaa kotitehtävänä. Todistus on käytännössä sama kuin edellisillä matriiseilla, vain x_ij:n sijaan kirjoitetaan x_i. Nollapolynomi on silloin polynomi p(x) = 0.

Siinä missä matriiseilla vaadittiin, että vektoriavaruudessa on vain samaa tyyppiä olevia matriiseja, polynomeilla tätä ei vaadita. Sitä ei voisi edes vaatia. Jos otettaisiin kaikkien astetta kaksi olevien polynomien joukko, tämä joukko ei muodostaisi vektoriavaruutta. Miksi ei? Sen voi osoittaa vastaesimerkillä. Lasketaan yhteen nämä kaksi polynomia:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Koska ensimmäisessä polynomissa on 3x² ja toisessa −3x², yhteenlaskun jälkeen saatiin 0x², mutta se pienensi polynomin astetta. Polynomi 2 + 4x on astetta 1, ei 2.