Eksempler på vektorrum

I den foregående del definerede vi vektorrum, også kaldet lineære rum, og viste et eksempel på det klassiske vektorrum ℝ². I denne artikel ser vi på flere eksempler.

Vektorrummet Rⁿ

Vi kender allerede vektorrummet ℝ², som består af vektorer af formen (a, b), hvor a, b er reelle tal. Vi viser, at enhver mængde af ordnede n-tupler ℝⁿ for n > 0 i virkeligheden udgør et vektorrum.

For n = 2 gælder, at vi får mængden af par (a, b). Hvis vi øger n til n = 3, får vi mængden af tripler. Dermed bevæger vi os fra planen ud i rummet. ℝ² er altså den klassiske plan, ℝ³ det klassiske tredimensionale rum.

Definitionerne af addition og multiplikation er de samme som for n = 2, vi skal bare altid lægge alle dele af vektorerne sammen eller gange dem:

$\begin{array}{rcl} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) & = & (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}) \\ k \cdot (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) & = & (k \cdot a_{1}, k \cdot a_{2}, \dots, k \cdot a_{n}) \end{array}$

Nu skulle vi bevise, at vektorrummet ℝ³, eller mere generelt ℝⁿ, opfylder alle syv punkter fra definitionen af et vektorrum. Beviserne ville dog stort set være de samme, vi ville bare arbejde med en vektor med tre komponenter i stedet for en vektor med to. Det første punkt om kommutativitet af addition af vektorer ville vi for eksempel for n = 3 bevise sådan:

Vi skal bevise: x + y = y + x, hvor x, y ∈ ℝ³. Vi skriver additionen af to vektorer ud:

$(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)$

Hvis vi bytter om på vektorerne på venstre side, får vi:

$(d, e, f) + (a, b, c) = (d + a, e + b, f + c)$

Af egenskaberne ved addition af to reelle tal følger dog, at de resulterende vektorer er ens, dvs. (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Hvis du sammenligner det med beviset for n = 2 i den foregående artikel, vil du opdage, at beviset er praktisk talt det samme. De øvrige seks punkter kan derfor bevises på tilsvarende måde.

Det er dog interessant, at også ℝ¹ = ℝ, selve mængden af reelle tal, er et vektorrum. Addition og multiplikation af vektorer bliver så til almindelig addition og multiplikation af reelle tal, og operationerne addition og multiplikation af reelle tal opfylder helt sikkert alle 7 punkter.

Rummet ℝⁿ møder vi helt sikkert igen, det er et ret almindeligt vektorrum.

Vektorrummet af m × n-matricer

Mængden af alle matricer, som har m rækker og n søjler og kun indeholder reelle tal, udgør sammen med operationerne addition af matricer og multiplikation af matricer med en skalar et vektorrum. Kort betegner vi dette rum ℝ^{m × n}.

For m = 2, n = 3 ville vi få matricer, som har to rækker og tre søjler. Et eksempel på en konkret matrix er

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

Additionen definerer vi sådan:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

Klassisk addition af matricer. Multiplikation med en skalar definerer vi på lignende måde:

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

De således definerede operationer på mængden af alle matricer ℝ^{m × n} udgør et vektorrum. Det er vigtigt, at vi altid tager mængden af alle matricer af samme type. Hvis der blev en matrix af en anden type blandet ind, for eksempel hvis vi føjede en matrix af typen 3 × 1 til ℝ^{2 × 2}, ville vi få et problem, for en matrix af typen 3 × 1 kan vi slet ikke lægge sammen med en matrix af typen 2 × 2.

Nu skulle vi igen kontrollere, at det således definerede vektorrum opfylder alle 7 betingelser, som vi stiller til et vektorrum. Fordi vi ellers ville skrive os til døde med matricerne, eller rettere: jeg ville, tager vi det kun kort:

Addition af to matricer giver os en ny matrix af samme type. Multiplikation med en skalar giver os en ny matrix af samme type, så med hensyn til typer passer vores operationer sammen.

x + y = y + x: addition af matricer er åbenlyst kommutativ, fordi elementet på plads ij i den resulterende matrix får formen x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

(x + y) + z = x + (y + z): addition af matricer er også associativ, fordi (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
a · (b · x) = (a · b) · x: igen gælder, at a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
a · (x + y) = a · x + a · y: igen får vi for elementerne på plads ij ligheden: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
(a + b) · x = a · x + b · x: igen udtrykker vi bare elementet på plads ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
1 · x = x: fordi 1 · x_ij = x_ij, gælder også dette punkt.
Eksistens af et nulelement. Det er nulmatricen, fordi der for alle matricer x i vores vektorrum gælder, at 0 · x_ij = 0

Vektorrummet af polynomier

Et polynomium skriver vi p(x), og det er et udtryk af formen:

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

Vi forudsætter, at a_n ≠ 0. Graden af et sådant polynomium er så netop tallet n. De reelle tal a₀, …, a_n kalder vi polynomiets koefficienter. Et eksempel på et polynomium kan være udtrykket 4 + 3x − 7x², hvor a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7, og polynomiets grad er 2. Nogle koefficienter kan være nul, så udtrykket x² + π x⁷ er et polynomium af grad 7 med a₂ = 1, a₇ = π, og de øvrige koefficienter er nul.

Polynomier kan vi nemt lægge sammen — vi lægger simpelthen deres koefficienter sammen. Eksempel:

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

Generelt kunne vi definere addition af polynomier sådan:

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

hvor q er maksimum af tallene m og n. k gange polynomiet p(x) får vi ved at gange alle koefficienterne med tallet k:

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

Som illustration:

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

Mængden af alle polynomier, lad os kalde den P(X), udgør med de således definerede operationer addition og multiplikation et vektorrum. Kontrol:

Summen af to polynomier giver os igen et polynomium, og multiplikation med en skalar danner også et nyt polynomium. De operationer, vi har defineret, passer altså sammen med hensyn til typer.

De syv øvrige egenskaber, som et vektorrum skal opfylde, kan du kontrollere som hjemmeopgave. Beviset bliver praktisk talt det samme som for de foregående matricer, du skriver bare x_i i stedet for x_ij. Nulpolynomiet er så polynomiet p(x) = 0.

Mens vi for matricer krævede, at der i vektorrummet kun var matricer af samme type, kræver vi det ikke for polynomier. Det kan vi faktisk slet ikke. Hvis vi tog mængden af alle polynomier af grad to, ville denne mængde ikke udgøre et vektorrum. Hvorfor? Det kan vi vise med et modeksempel. Vi lægger disse to polynomier sammen:

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

Fordi der i det første polynomium er 3x² og i det andet −3x², fik vi efter addition 0x², men dermed sænkede vi polynomiets grad. Polynomiet 2 + 4x er et polynomium af grad 1, ikke 2.

Kapitler: Vektorrum, Eksempler på vektorrum, Underrum, Linearkombination af vektorer, Lineært udspænd, Basis for et vektorrum, Dimension af et vektorrum, Basisskiftematrix

« Forrige: Vektorrum

Næste: Underrum »

Eksempler på vektorrum

Vektorrummet Rn

Vektorrummet af m × n-matricer

Vektorrummet af polynomier

Vektorrummet Rⁿ