Παραδείγματα διανυσματικών χώρων

Στο προηγούμενο μέρος ορίσαμε τους διανυσματικούς χώρους, δηλαδή τους γραμμικούς χώρους, και δείξαμε το παράδειγμα του κλασικού διανυσματικού χώρου ℝ². Σε αυτό το άρθρο θα δούμε και άλλα παραδείγματα.

Ο διανυσματικός χώρος Rⁿ

Ήδη ξέρουμε τον διανυσματικό χώρο ℝ², που αποτελείται από διανύσματα της μορφής (a, b), όπου a, b είναι πραγματικοί αριθμοί. Θα δείξουμε ότι στην πραγματικότητα οποιοδήποτε σύνολο διατεταγμένων n-άδων ℝⁿ, για n > 0, αποτελεί διανυσματικό χώρο.

Για n = 2 ισχύει ότι παίρνουμε το σύνολο των ζευγών (a, b). Αν αυξήσουμε το n σε n = 3, παίρνουμε το σύνολο των τριάδων. Έτσι από το επίπεδο περνάμε στον χώρο. Ο ℝ² παριστάνει επομένως το κλασικό επίπεδο και ο ℝ³ τον κλασικό τρισδιάστατο χώρο.

Οι ορισμοί των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι ίδιοι με την περίπτωση n = 2, μόνο που πρέπει να προσθέτουμε/πολλαπλασιάζουμε πάντα όλες τις συνιστώσες των διανυσμάτων:

$$\begin{array}{rcl}(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n)& =& (a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1,a_2,\dots ,a_n)& =& (k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n)\end{array}$$

Τώρα θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι ο διανυσματικός χώρος ℝ³, ή γενικότερα ο ℝⁿ, ικανοποιεί και τα επτά σημεία του ορισμού των διανυσματικών χώρων. Ωστόσο οι αποδείξεις θα ήταν ουσιαστικά ίδιες, μόνο που αντί για διάνυσμα με δύο συνιστώσες θα δουλεύαμε με διάνυσμα με τρεις συνιστώσες. Για παράδειγμα, το πρώτο σημείο, που αναφέρεται στην αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης διανυσμάτων, θα το αποδεικνύαμε για n = 3 ως εξής:

Πρέπει να αποδείξουμε: x + y = y + x, όπου x, y ∈ ℝ³. Θα γράφαμε την πρόσθεση δύο διανυσμάτων:

$$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$$

Αν στο πρώτο μέλος αντιμεταθέσουμε τα διανύσματα, παίρνουμε:

$$(d,e,f)+(a,b,c)=(d+a,e+b,f+c)$$

Από την ιδιότητα της πρόσθεσης δύο πραγματικών αριθμών όμως προκύπτει ότι τα διανύσματα που προέκυψαν είναι ίδια, δηλαδή (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Αν το συγκρίνεις με την απόδειξη για n = 2 στο προηγούμενο άρθρο, θα διαπιστώσεις ότι η απόδειξη είναι σχεδόν ίδια. Τα υπόλοιπα έξι σημεία μπορούν επομένως να αποδειχθούν με παρόμοιο τρόπο.

Ενδιαφέρον όμως είναι ότι διανυσματικός χώρος είναι και ο ℝ¹ = ℝ, το ίδιο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός διανυσμάτων μετατρέπονται τότε στη συνηθισμένη πρόσθεση και στον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό πραγματικών αριθμών και οι πράξεις αυτές σίγουρα ικανοποιούν και τα 7 σημεία.

Με τον χώρο ℝⁿ σίγουρα θα συναντηθούμε ξανά, είναι αρκετά συνηθισμένος διανυσματικός χώρος.

Ο διανυσματικός χώρος των πινάκων m × n

Το σύνολο όλων των πινάκων που έχουν m γραμμές και n στήλες και περιέχουν μόνο πραγματικούς αριθμούς αποτελεί, μαζί με τις πράξεις της πρόσθεσης πινάκων και του πολλαπλασιασμού πίνακα με βαθμωτό, διανυσματικό χώρο. Συνοπτικά τον χώρο αυτόν θα τον συμβολίζουμε ℝ^{m × n}.

Για m = 2, n = 3 θα παίρναμε πίνακες που έχουν δύο γραμμές και τρεις στήλες. Παράδειγμα συγκεκριμένου πίνακα είναι ο

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

Την πράξη της πρόσθεσης την ορίζουμε ως εξής:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Η κλασική πρόσθεση πινάκων. Τον πολλαπλασιασμό με βαθμωτό θα τον ορίσουμε παρόμοια:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Οι πράξεις που ορίσαμε με αυτόν τον τρόπο στο σύνολο όλων των πινάκων ℝ^{m × n} αποτελούν διανυσματικό χώρο. Σημαντικό είναι ότι πρέπει πάντα να παίρνουμε το σύνολο όλων των πινάκων του ίδιου τύπου. Αν παρεισφρήσει εκεί ένας πίνακας άλλου τύπου, για παράδειγμα αν στον ℝ^{2 × 2} προσθέσουμε έναν πίνακα τύπου 3 × 1, θα έχουμε πρόβλημα, επειδή τον πίνακα τύπου 3 × 1 δεν μπορούμε καν να τον προσθέσουμε με πίνακα τύπου 2 × 2.

Τώρα θα έπρεπε πάλι να ελέγξουμε ότι ο διανυσματικός χώρος που ορίσαμε ικανοποιεί και τις 7 συνθήκες που απαιτούμε από έναν διανυσματικό χώρο. Επειδή στην περίπτωση των πινάκων θα γράφαμε ατελείωτα, κυρίως εγώ, θα το κάνουμε συνοπτικά:

Η πρόσθεση δύο πινάκων μάς δίνει νέο πίνακα του ίδιου τύπου. Ο πολλαπλασιασμός με βαθμωτό μάς δίνει νέο πίνακα του ίδιου τύπου, άρα ως προς τον τύπο οι πράξεις μας ταιριάζουν.

1. x + y = y + x: η πρόσθεση πινάκων είναι προφανώς αντιμεταθετική, επειδή το στοιχείο στη θέση ij του πίνακα που προκύπτει θα έχει τη μορφή x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): η πρόσθεση πινάκων είναι και προσεταιριστική, επειδή (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: και πάλι ισχύει ότι a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: και πάλι για τα στοιχεία στη θέση ij παίρνουμε την ισότητα: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: πάλι απλώς εκφράζουμε το στοιχείο στη θέση ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: επειδή 1 · x_ij = x_ij, ισχύει και αυτό το σημείο.
• Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου. Είναι ο μηδενικός πίνακας, επειδή για όλους τους πίνακες x του διανυσματικού μας χώρου ισχύει ότι 0 · x_ij = 0

Ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων

Το πολυώνυμο το συμβολίζουμε p(x) και είναι παράσταση της μορφής:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Υποθέτουμε ότι a_n ≠ 0. Ο βαθμός ενός τέτοιου πολυωνύμου είναι τότε ακριβώς ο αριθμός n. Τους πραγματικούς αριθμούς a₀, …, a_n τους ονομάζουμε συντελεστές του πολυωνύμου. Παράδειγμα πολυωνύμου μπορεί να είναι η παράσταση 4 + 3x − 7x², όπου a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 2. Ορισμένοι συντελεστές μπορεί να είναι μηδενικοί, έτσι η παράσταση x² + π x⁷ είναι πολυώνυμο βαθμού 7 και a₂ = 1, a₇ = π και οι υπόλοιποι συντελεστές είναι μηδενικοί.

Τα πολυώνυμα μπορούμε να τα προσθέτουμε εύκολα – απλώς προσθέτουμε τους συντελεστές τους. Παράδειγμα:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

Γενικά την πρόσθεση πολυωνύμων θα μπορούσαμε να την ορίσουμε ως εξής:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

όπου q είναι το μέγιστο των αριθμών m και n. Το k-πολλαπλάσιο του πολυωνύμου p(x) το παίρνουμε αν πολλαπλασιάσουμε με τον αριθμό k όλους τους συντελεστές:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Για παράδειγμα:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

Το σύνολο όλων των πολυωνύμων, που το συμβολίζουμε P(X), με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού που ορίσαμε αποτελεί διανυσματικό χώρο. Έλεγχος:

Το άθροισμα δύο πολυωνύμων μάς δίνει πάλι πολυώνυμο, και ο πολλαπλασιασμός με βαθμωτό δημιουργεί επίσης νέο πολυώνυμο. Ως προς τον τύπο οι πράξεις που ορίσαμε ταιριάζουν.

Τις υπόλοιπες επτά ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιεί ένας διανυσματικός χώρος μπορείς να τις ελέγξεις ως άσκηση για το σπίτι. Η απόδειξη θα είναι σχεδόν ίδια με αυτή για τους πίνακες, μόνο που αντί για x_ij θα γράφεις x_i. Μηδενικό πολυώνυμο είναι τότε το πολυώνυμο p(x) = 0.

Ενώ στους πίνακες απαιτούσαμε ο διανυσματικός χώρος να περιέχει μόνο πίνακες του ίδιου τύπου, στα πολυώνυμα δεν το απαιτούμε. Μάλιστα ούτε καν μπορούμε να το απαιτήσουμε. Αν παίρναμε το σύνολο όλων των πολυωνύμων δεύτερου βαθμού, το σύνολο αυτό δεν θα αποτελούσε διανυσματικό χώρο. Γιατί; Μπορούμε να το δείξουμε με ένα αντιπαράδειγμα. Προσθέτουμε τα εξής δύο πολυώνυμα:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Επειδή στο πρώτο πολυώνυμο υπάρχει το 3x² και στο δεύτερο το −3x², μετά την πρόσθεση πήραμε 0x², με αποτέλεσμα όμως να μειώσουμε τον βαθμό του πολυωνύμου. Το πολυώνυμο 2 + 4x είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού, όχι δεύτερου.