Vektorterek példái

Az előző részben definiáltuk a vektortereket, azaz a lineáris tereket, és bemutattuk a klasszikus ℝ² vektortér példáját. Ebben a cikkben további példákat nézünk meg.

Az Rⁿ vektortér

Már ismerjük az ℝ² vektorteret, amely (a; b) alakú vektorokból áll, ahol a, b valós számok. Megmutatjuk, hogy valójában a rendezett n-esek bármely ℝⁿ halmaza, n > 0 esetén, vektorteret alkot.

n = 2 esetén az (a; b) számpárok halmazát kapjuk. Ha n-et megnöveljük n = 3-ra, számhármasok halmazát kapjuk. Ezzel a síkból a térbe jutunk. Az ℝ² tehát a megszokott síkot jelenti, az ℝ³ a megszokott háromdimenziós teret.

Az összeadás és a szorzás műveletének definíciója ugyanaz, mint az n = 2 esetben, csak most mindig a vektorok minden komponensét össze kell adnunk, illetve meg kell szoroznunk:

$\begin{array}{rcl} (a_{1}; a_{2}; \dots; a_{n}) + (b_{1}; b_{2}; \dots; b_{n}) & = & (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; \dots; a_{n} + b_{n}) \\ k \cdot (a_{1}; a_{2}; \dots; a_{n}) & = & (k \cdot a_{1}; k \cdot a_{2}; \dots; k \cdot a_{n}) \end{array}$

Most bizonyítanunk kellene, hogy az ℝ³, illetve általában az ℝⁿ vektortér teljesíti a vektorterek definíciójának mind a hét pontját. A bizonyítások azonban többnyire ugyanazok lennének, csak kétkomponensű vektor helyett háromkomponensűvel dolgoznánk. Például a vektorok összeadásának kommutativitásáról szóló első pontot n = 3 esetén így bizonyítanánk:

Bizonyítandó: x + y = y + x, ahol x, y ∈ ℝ³. Kifejtenénk két vektor összeadását:

$(a; b; c) + (d; e; f) = (a + d; b + e; c + f)$

Ha a bal oldalon felcseréljük a vektorokat, ezt kapjuk:

$(d; e; f) + (a; b; c) = (d + a; e + b; f + c)$

Két valós szám összeadásának tulajdonságából viszont következik, hogy a kapott vektorok megegyeznek, azaz (a + d; b + e; c + f) = (d + a; e + b; f + c).

Ha ezt összehasonlítod az előző cikkben szereplő, n = 2-re vonatkozó bizonyítással, látni fogod, hogy az gyakorlatilag ugyanaz. A többi hat pont tehát hasonló módon bizonyítható.

Az viszont érdekes, hogy vektortér az ℝ¹ = ℝ is, maga a valós számok halmaza. A vektorok összeadása és szorzása ekkor egyszerű valós számok összeadásává és szorzásává változik, a valós számok összeadása és szorzása pedig biztosan teljesíti mind a 7 pontot.

Az ℝⁿ térrel még biztosan találkozunk, ez egy elég gyakori vektortér.

Az m × n típusú mátrixok vektortere

Az összes olyan mátrix halmaza, amelynek m sora és n oszlopa van, és csak valós számokat tartalmaz, a mátrixok összeadásával és a mátrix skalárral való szorzásával együtt vektorteret alkot. Ezt a teret röviden ℝ^{m × n}-nel jelöljük.

m = 2, n = 3 esetén olyan mátrixokat kapnánk, amelyeknek két soruk és három oszlopuk van. Egy konkrét mátrix például

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

Az összeadás műveletét így definiáljuk:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

Ez a megszokott mátrixösszeadás. A skalárral való szorzást hasonlóan definiáljuk:

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

Az ℝ^{m × n} mátrixhalmazon az így definiált műveletek vektorteret alkotnak. Fontos, hogy mindig az összes azonos típusú mátrix halmazát kell vennünk. Ha belekeveredne egy másik típusú mátrix, például ha az ℝ^{2 × 2} halmazhoz hozzávennénk egy 3 × 1 típusú mátrixot, problémánk lenne, mert a 3 × 1 típusú mátrixot nem is tudjuk összeadni egy 2 × 2 típusú mátrixszal.

Most ismét ellenőriznünk kellene, hogy az így definiált vektortér teljesíti mind a 7 feltételt, amelyet a vektortérre kiszabunk. Mivel a mátrixok esetében belefulladnánk az írásba, pontosabban én fulladnék bele, csak röviden:

Két mátrix összege új, azonos típusú mátrixot ad. A skalárral való szorzás szintén új, azonos típusú mátrixot ad, tehát a műveleteink típus szerint rendben vannak.

x + y = y + x: a mátrixok összeadása nyilvánvalóan kommutatív, mert az eredménymátrix ij helyén álló eleme x_ij + y_ij = y_ij + x_ij alakú lesz.

(x + y) + z = x + (y + z): a mátrixok összeadása asszociatív is, mert (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
a · (b · x) = (a · b) · x: ismét igaz, hogy a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
a · (x + y) = a · x + a · y: ismét az ij helyen álló elemekre ezt az egyenlőséget kapjuk: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
(a + b) · x = a · x + b · x: megint csak kifejezzük az ij helyen álló elemet: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
1 · x = x: mivel 1 · x_ij = x_ij, ez a pont is teljesül.
A nullelem létezése. Ez a nullmátrix, mert a vektorterünk minden x mátrixára igaz, hogy 0 · x_ij = 0

A polinomok vektortere

A polinomot p(x)-szel jelöljük, és ilyen alakú kifejezés:

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

Feltesszük, hogy a_n ≠ 0. Az ilyen polinom foka ekkor éppen az n szám. Az a₀, …, a_n valós számokat a polinom együtthatóinak nevezzük. A polinomra példa a 4 + 3x − 7x² kifejezés, ahol a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7, a polinom foka pedig 2. Néhány együttható lehet nulla is, így az x² + π x⁷ kifejezés hetedfokú polinom, és a₂ = 1, a₇ = π, a többi együttható nulla.

A polinomokat könnyen összeadhatjuk – egyszerűen összeadjuk az együtthatóikat. Példa:

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

Általánosságban a polinomok összeadását így definiálhatnánk:

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

ahol q az m és n számok maximuma. A p(x) polinom k-szorosát úgy kapjuk, hogy a k számmal megszorozzuk az összes együtthatót:

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

Szemléltetésül:

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

Az összes polinom halmaza, jelöljük P(X)-szel, az így definiált összeadással és szorzással vektorteret alkot. Ellenőrzés:

Két polinom összege ismét polinom, a skalárral való szorzás is új polinomot ad. Az általunk definiált műveletek típus szerint rendben vannak.

A vektortér további hét tulajdonságát ellenőrizheted házi feladatként. A bizonyítás gyakorlatilag ugyanaz lesz, mint az előző mátrixoknál, csak az x_ij helyett x_i-t írsz. A nullpolinom a p(x) = 0 polinom.

Míg a mátrixoknál megköveteltük, hogy a vektortérben csak azonos típusú mátrixok legyenek, a polinomoknál ezt nem követeljük meg. Sőt, nem is követelhetjük meg. Ha az összes másodfokú polinom halmazát vennénk, ez a halmaz nem alkotna vektorteret. Miért? Ezt egy ellenpéldával mutathatjuk meg. Adjuk össze ezt a két polinomot:

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

Mivel az első polinomban 3x², a másodikban −3x² áll, az összeadás után 0x²-et kaptunk, ezzel viszont csökkentettük a polinom fokát. A 2 + 4x polinom elsőfokú, nem másodfokú.

Fejezetek: Vektorterek, Vektorterek példái, Vektortér altere, Vektorok lineáris kombinációja, Lineáris burok, A vektortér bázisa, A vektortér dimenziója, Bázistranszformáció mátrixa

« Előző: Vektorterek

Következő: Vektortér altere »

Vektorterek példái

Az Rn vektortér

Az m × n típusú mátrixok vektortere

A polinomok vektortere

Az Rⁿ vektortér