Exempel på vektorrum

I förra avsnittet definierade vi vektorrum, även kallade linjära rum, och visade ett exempel på det klassiska vektorrummet ℝ². I den här artikeln tittar vi på fler exempel.

Vektorrummet ℝⁿ

Vi känner redan vektorrummet ℝ², som består av vektorer på formen (a, b), där a, b är reella tal. Vi ska visa att i själva verket varje mängd av ordnade n-tipler ℝⁿ, för n > 0, bildar ett vektorrum.

För n = 2 får vi mängden av par (a, b). Om vi höjer n till n = 3 får vi mängden av tripler. Då går vi från planet till rummet. ℝ² motsvarar alltså det vanliga planet och ℝ³ det vanliga tredimensionella rummet.

Addition och multiplikation definieras på samma sätt som för n = 2, vi måste bara addera/multiplicera alla delar av vektorerna:

$\begin{array}{rcl} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) & = & (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}) \\ k \cdot (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) & = & (k \cdot a_{1}, k \cdot a_{2}, \dots, k \cdot a_{n}) \end{array}$

Nu borde vi bevisa att vektorrummet ℝ³, eller mer allmänt ℝⁿ, uppfyller alla sju punkter i definitionen av vektorrum. Bevisen skulle dock vara i stort sett likadana, vi skulle bara arbeta med en vektor med tre komponenter i stället för två. Den första punkten, om kommutativitet för addition av vektorer, skulle vi till exempel för n = 3 bevisa så här:

Vi ska visa att x + y = y + x, där x, y ∈ ℝ³. Vi skriver ut additionen av två vektorer:

$(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)$

Om vi byter plats på vektorerna i vänsterledet får vi:

$(d, e, f) + (a, b, c) = (d + a, e + b, f + c)$

Av egenskaperna hos addition av reella tal följer att de resulterande vektorerna är lika, dvs. (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Om du jämför med beviset för n = 2 i förra artikeln ser du att beviset är nästan detsamma. De övriga sex punkterna kan därför bevisas på liknande sätt.

Intressant är dock att även ℝ¹ = ℝ, själva mängden av reella tal, är ett vektorrum. Addition och multiplikation av vektorer blir då vanlig addition och multiplikation av reella tal, och dessa operationer uppfyller förstås alla 7 punkterna.

Rummet ℝⁿ kommer vi säkert att möta igen, det är ett ganska vanligt vektorrum.

Vektorrummet av m × n-matriser

Mängden av alla matriser med m rader och n kolonner som bara innehåller reella tal bildar, tillsammans med addition av matriser och multiplikation av matriser med skalär, ett vektorrum. Kortfattat betecknar vi detta rum ℝ^{m × n}.

För m = 2, n = 3 skulle vi få matriser med två rader och tre kolonner. Ett exempel på en konkret matris är

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

Additionen definierar vi så här:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

Det är alltså vanlig addition av matriser. Multiplikation med skalär definierar vi på liknande sätt:

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

Med de här operationerna bildar mängden av alla matriser ℝ^{m × n} ett vektorrum. Det är viktigt att vi alltid tar mängden av alla matriser av samma typ. Om det smög sig in en matris av en annan typ, till exempel om vi lade till en matris av typen 3 × 1 till ℝ^{2 × 2}, skulle vi få problem, eftersom en matris av typen 3 × 1 inte ens går att addera med en matris av typen 2 × 2.

Nu borde vi återigen kontrollera att det vektorrum vi definierat uppfyller alla 7 villkor som vi ställer på ett vektorrum. Eftersom det skulle bli för långt med matriser, eller snarare eftersom jag skulle skriva mig trött, går vi igenom det kort:

Summan av två matriser ger en ny matris av samma typ. Multiplikation med skalär ger en ny matris av samma typ, så våra operationer stämmer typmässigt.

x + y = y + x: addition av matriser är uppenbarligen kommutativ, eftersom elementet på plats ij i den resulterande matrisen blir x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

(x + y) + z = x + (y + z): addition av matriser är också associativ, eftersom (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
a · (b · x) = (a · b) · x: även här gäller att a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
a · (x + y) = a · x + a · y: för elementen på plats ij får vi på nytt likheten a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
(a + b) · x = a · x + b · x: vi uttrycker återigen bara elementet på plats ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
1 · x = x: eftersom 1 · x_ij = x_ij gäller även den här punkten.
Existens av ett nollelement. Det är nollmatrisen, eftersom det för alla matriser x i vårt vektorrum gäller att 0 · x_ij = 0

Vektorrummet av polynom

Ett polynom betecknar vi p(x) och det är ett uttryck på formen:

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

Vi förutsätter att a_n ≠ 0. Polynomets grad är då just talet n. De reella talen a₀, …, a_n kallar vi polynomets koefficienter. Ett exempel på ett polynom är uttrycket 4 + 3x − 7x², där a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 och polynomets grad är 2. Vissa koefficienter kan vara noll, så uttrycket x² + π x⁷ är ett polynom av grad 7 med a₂ = 1, a₇ = π och övriga koefficienter lika med noll.

Polynom kan vi enkelt addera — vi adderar helt enkelt deras koefficienter. Exempel:

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

Allmänt kan vi definiera addition av polynom så här:

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

där q är det största av talen m och n. k gånger polynomet p(x) får vi genom att multiplicera alla koefficienter med talet k:

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

Som exempel:

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

Mängden av alla polynom, som vi betecknar P(X), bildar med de här definierade operationerna addition och multiplikation ett vektorrum. Kontroll:

Summan av två polynom ger återigen ett polynom, och multiplikation med skalär ger också ett nytt polynom. Våra operationer stämmer alltså typmässigt.

De övriga sju egenskaperna som ett vektorrum måste uppfylla kan du kontrollera som läxa. Beviset blir nästan detsamma som för matriserna, du skriver bara x_i i stället för x_ij. Nollpolynomet är polynomet p(x) = 0.

För matriserna krävde vi att vektorrummet bara innehåller matriser av samma typ, men för polynom kräver vi inget sådant. Vi kan inte ens kräva det. Om vi tog mängden av alla polynom av grad två skulle den mängden inte bilda ett vektorrum. Varför? Vi kan visa det med ett motexempel. Vi adderar de här två polynomen:

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

Eftersom det första polynomet innehåller 3x² och det andra −3x² fick vi efter additionen 0x², och därmed sänkte vi polynomets grad. Polynomet 2 + 4x har grad 1, inte 2.

Kapitel: Vektorrum, Exempel på vektorrum, Underrum, Linjärkombination av vektorer, Linjärt hölje, Bas för ett vektorrum, Dimension hos ett vektorrum, Basbytesmatris

« Föregående: Vektorrum

Nästa: Underrum »

Exempel på vektorrum

Vektorrummet ℝn

Vektorrummet av m × n-matriser

Vektorrummet av polynom

Vektorrummet ℝⁿ