Exemples d’espaces vectoriels

Dans la partie précédente, nous avons défini les espaces vectoriels, ou espaces linéaires, et nous avons vu l’exemple classique de l’espace vectoriel ℝ². Dans cet article, nous allons voir d’autres exemples.

L’espace vectoriel ℝⁿ

Nous connaissons déjà l’espace vectoriel ℝ², formé des vecteurs de la forme (a ; b), où a, b sont des nombres réels. Nous allons montrer qu’en fait, tout ensemble ℝⁿ de n-uplets ordonnés, pour n > 0, forme un espace vectoriel.

Pour n = 2, on obtient l’ensemble des couples (a ; b). Si on augmente n jusqu’à n = 3, on obtient l’ensemble des triplets. On passe ainsi du plan à l’espace. ℝ² représente donc le plan classique, ℝ³ l’espace classique à trois dimensions.

Les opérations d’addition et de multiplication sont définies comme pour n = 2, il faut seulement additionner ou multiplier à chaque fois toutes les composantes des vecteurs :

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{array}) + (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} + b_{n} \end{array}) \\ k \cdot (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} k \cdot a_{1} \\ k \cdot a_{2} \\ ⋮ \\ k \cdot a_{n} \end{array}) \end{array}$

Nous devrions maintenant démontrer que l’espace vectoriel ℝ³, ou plus généralement ℝⁿ, vérifie les sept points de la définition des espaces vectoriels. Mais les démonstrations seraient à peu près identiques, il suffirait de travailler avec un vecteur à trois composantes au lieu de deux. Par exemple, le premier point, sur la commutativité de l’addition de vecteurs, se démontrerait pour n = 3 ainsi :

Nous devons démontrer : x + y = y + x, où x, y ∈ ℝ³. Écrivons l’addition de deux vecteurs :

$(a; b; c) + (d; e; f) = (a + d; b + e; c + f)$

Si on échange les vecteurs dans le membre de gauche, on obtient :

$(d; e; f) + (a; b; c) = (d + a; e + b; f + c)$

Mais la propriété de l’addition de deux nombres réels entraîne que les vecteurs obtenus sont égaux, c’est-à-dire (a + d ; b + e ; c + f) = (d + a ; e + b ; f + c).

Si tu compares avec la démonstration pour n = 2 dans l’article précédent, tu verras qu’elle est pratiquement la même. Les six autres points se démontrent donc de façon analogue.

Il est intéressant de noter que ℝ¹ = ℝ, l’ensemble des nombres réels lui-même, est aussi un espace vectoriel. L’addition et la multiplication de vecteurs deviennent alors l’addition et la multiplication ordinaires des nombres réels, et celles-ci vérifient évidemment les 7 points.

Nous rencontrerons certainement encore l’espace ℝⁿ, c’est un espace vectoriel assez courant.

L’espace vectoriel des matrices m × n

L’ensemble de toutes les matrices à m lignes et n colonnes, ne contenant que des nombres réels, forme, avec les opérations d’addition de matrices et de multiplication d’une matrice par un scalaire, un espace vectoriel. Nous noterons brièvement cet espace ℝ^{m × n}.

Pour m = 2, n = 3, on obtiendrait des matrices à deux lignes et trois colonnes. Un exemple de matrice concrète est

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

Définissons l’opération d’addition ainsi :

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

C’est l’addition classique des matrices. La multiplication par un scalaire se définit de façon semblable :

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

Les opérations ainsi définies sur l’ensemble de toutes les matrices ℝ^{m × n} forment un espace vectoriel. Il est important de toujours prendre l’ensemble de toutes les matrices de même taille. Si une matrice d’une autre taille s’y glissait, par exemple si on ajoutait à ℝ^{2 × 2} une matrice de taille 3 × 1, nous aurions un problème, car on ne peut même pas additionner une matrice de taille 3 × 1 avec une matrice de taille 2 × 2.

Nous devrions de nouveau vérifier que l’espace vectoriel ainsi défini vérifie les 7 conditions que nous imposons à un espace vectoriel. Comme nous risquerions de trop nous étendre avec les matrices (moi surtout), restons brefs :

L’addition de deux matrices donne une nouvelle matrice de même taille. La multiplication par un scalaire donne une nouvelle matrice de même taille, donc nos opérations sont bien cohérentes du point de vue des types.

x + y = y + x : l’addition de matrices est évidemment commutative, car l’élément de coordonnées ij de la matrice obtenue vaut x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

(x + y) + z = x + (y + z) : l’addition de matrices est aussi associative, car (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
a · (b · x) = (a · b) · x : là encore, a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
a · (x + y) = a · x + a · y : là encore, pour les éléments de coordonnées ij, on obtient l’égalité : a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
(a + b) · x = a · x + b · x : on exprime encore l’élément de coordonnées ij : (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
1 · x = x : comme 1 · x_ij = x_ij, ce point est vérifié lui aussi.
Existence d’un élément nul. C’est la matrice nulle, car pour toutes les matrices x de notre espace vectoriel, on a 0 · x_ij = 0

L’espace vectoriel des polynômes

Un polynôme se note p(x) et c’est une expression de la forme :

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

On suppose que a_n ≠ 0. Le degré d’un tel polynôme est alors exactement le nombre n. Les nombres réels a₀, …, a_n s’appellent les coefficients du polynôme. Un exemple de polynôme est l’expression 4 + 3x − 7x², où a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 et le degré du polynôme est 2. Certains coefficients peuvent être nuls, donc l’expression x² + π x⁷ est un polynôme de degré 7, avec a₂ = 1, a₇ = π et tous les autres coefficients nuls.

On peut facilement additionner des polynômes – il suffit d’additionner leurs coefficients. Exemple :

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

En général, on pourrait définir l’addition des polynômes ainsi :

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

où q est le maximum des nombres m et n. Le produit d’un polynôme p(x) par un nombre k s’obtient en multipliant tous les coefficients par le nombre k :

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

Pour l’illustrer :

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

L’ensemble de tous les polynômes, notons-le P(X), muni des opérations d’addition et de multiplication ainsi définies, forme un espace vectoriel. Vérification :

La somme de deux polynômes donne de nouveau un polynôme, la multiplication par un scalaire crée aussi un nouveau polynôme. Les opérations que nous avons définies sont donc cohérentes du point de vue des types.

Les sept autres propriétés que doit vérifier un espace vectoriel, tu peux les vérifier toi-même, comme devoir à la maison. La démonstration sera pratiquement la même que pour les matrices, il suffira d’écrire x_i au lieu de x_ij. Le polynôme nul est le polynôme p(x) = 0.

Alors que, pour les matrices, nous exigions que l’espace vectoriel ne contienne que des matrices de même taille, pour les polynômes nous n’exigeons pas cela. Nous ne pouvons même pas l’exiger. Si on prenait l’ensemble de tous les polynômes de degré deux, cet ensemble ne formerait pas un espace vectoriel. Pourquoi ? On peut le montrer avec un contre-exemple. Additionnons ces deux polynômes :

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

Comme le premier polynôme contient 3x² et le second −3x², nous avons obtenu 0x² après addition, ce qui a fait baisser le degré du polynôme. Le polynôme 2 + 4x est un polynôme de degré 1, et non 2.

Chapitres: Espaces vectoriels, Exemples d’espaces vectoriels, Sous-espace vectoriel, Combinaison linéaire de vecteurs, Sous-espace engendré, Base d’un espace vectoriel, Dimension d’un espace vectoriel, Matrice de passage

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L’espace vectoriel ℝn

L’espace vectoriel des matrices m × n

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L’espace vectoriel ℝⁿ