結合法則

結合法則は、たし算やかけ算のような演算がもつ性質です。次の2つのたし算の書き方を見てみましょう。

$$(1+2)+31+(2+3)$$

2つの式は、かっこの位置がちがうだけです。では、結果はちがうでしょうか。どちらの式も同じ結果になり、和はどちらも6です。かっこの位置が結果に影響しないとき、その演算は結合法則を満たすといいます。もっと正確に書くと、演算 a ∘ b は、次の式が成り立つとき結合法則を満たします。

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

結合法則を満たす演算には、かけ算もあります。次の式が成り立つからです。

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

結合法則を満たさない演算

ひき算は結合法則を満たしません。例として、式 (10 − 4) − 3 を考えます。まずかっこの中の差を計算すると 6 − 3 になり、これは3です。ところが、10 − (4 − 3) を計算すると、やはりまずかっこの中を計算して 10 − 1 となり、これは9です。したがって、ひき算は結合法則を満たしません。

同じように、割り算も結合法則を満たしません。例として、式 (64 / 4) / 2 を考えます。まずかっこを計算すると 16/2 になり、これは8です。ところが、かっこの位置を変えて 64 / (4 / 2) とすると、かっこを計算したあとは 64 / 2 で、これは32です。したがって、割り算は結合法則を満たしません。

結合法則を満たさない典型的な演算には、ほかに累乗があります。

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

結合法則は1つの演算についての性質

結合法則は、いつも1つの演算についての性質であることに注意しましょう。3つの数を含む式でも、演算が同じでなければ、結合法則は使えません。例を挙げます。

$$(1+2)\cdot 3$$

この式には、たし算とかけ算の2つの演算が含まれています。どちらの演算もそれだけなら結合法則を満たしますが、ここでは結合法則を使えません。次のように変形することはできないのです。

$$1+(2\cdot 3)$$

式に2つの異なる演算が含まれているからです。結合法則を使うには、2つの演算がどちらもたし算か、どちらもかけ算でなければなりません。

共通部分と和集合

集合の共通部分は、結合法則を満たします。例を挙げます。

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

まず、かっこの中の集合の共通部分を計算して、次のように変形します。

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

これらの集合の共通部分は {1} です。かっこの位置を変えると、次のようになります。

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

かっこの中を計算すると、次のようになります。

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

やはり {1} になります。かっこの位置は関係ないので、集合の共通部分は結合法則を満たします。同じように、和集合も結合法則を満たします。

ことばの連結

ことばの一部どうしの「たし算」という演算を考えてみましょう。これは、単にことばをつなげることを意味します。つまり、「でん」＋「わ」は「でんわ」になります。このような演算は、結合法則を満たします。たとえば、（「れい」＋「ぞう」）＋「こ」と書くと、まずかっこの中をたして「れいぞう」＋「こ」となり、「れいぞうこ」ができます。かっこの位置を変えて「れい」＋（「ぞう」＋「こ」）とすると、かっこの中をたして「れい」＋「ぞうこ」となり、やはり「れいぞうこ」ができます。

最大と最小は結合法則を満たす

2つの数のうち大きいほうを結果とする演算 a ∨ b を考えましょう。この演算は結合法則を満たします。たとえば、(5 ∨ 10) ∨ 7 は 10 ∨ 7 と変形でき、これは10です。10は3つの数のうちで最大です。かっこの位置を変えると、5 ∨ (10 ∨ 7) となり、変形すると 5 ∨ 10 で、やはり10です。

小さいほうを結果とする演算（最小）も、まったく同じようにふるまいます。