Примери за векторни пространства

В предишната част определихме векторните пространства, или линейните пространства, и показахме пример за класическото векторно пространство ℝ². В тази статия ще разгледаме още примери.

Векторно пространство Rⁿ

Вече познаваме векторното пространство ℝ², което се състои от вектори от вида (a; b), където a, b са реални числа. Ще покажем, че всъщност всяко множество от наредени n-торки ℝⁿ за n > 0 образува векторно пространство.

За n = 2 получаваме множеството на двойките (a; b). Ако увеличим n до n = 3, получаваме множеството на тройките. Така от равнината преминаваме в пространството. ℝ² представлява обикновената равнина, а ℝ³ – обикновеното тримерно пространство.

Определенията на операциите събиране и умножение са същите като при n = 2, само че трябва винаги да събираме/умножаваме всички части на векторите:

$$\begin{array}{rcl}(a_1;a_2;\dots ;a_n)+(b_1;b_2;\dots ;b_n)& =& (a_1+b_1;a_2+b_2;\dots ;a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1;a_2;\dots ;a_n)& =& (k\cdot a_1;k\cdot a_2;\dots ;k\cdot a_n)\end{array}$$

Сега трябва да докажем, че векторното пространство ℝ³, и в общия случай ℝⁿ, удовлетворява всичките седем точки от определението на векторните пространства. Доказателствата обаче биха били предимно същите, само че вместо с вектор с две компоненти бихме работили с вектор с три компоненти. Например първата точка, която говори за комутативността на събирането на вектори, за n = 3 бихме доказали така:

Трябва да докажем: x + y = y + x, където x, y ∈ ℝ³. Разписваме събирането на два вектора:

$$(a;b;c)+(d;e;f)=(a+d;b+e;c+f)$$

Ако отляво разменим векторите, получаваме:

$$(d;e;f)+(a;b;c)=(d+a;e+b;f+c)$$

От свойството на събирането на две реални числа обаче следва, че получените вектори са еднакви, тоест (a + d; b + e; c + f) = (d + a; e + b; f + c).

Ако го сравниш с доказателството за n = 2 в предишната статия, ще установиш, че това доказателство е практически същото. Останалите шест точки могат да се докажат по подобен начин.

Интересно е обаче, че векторно пространство е и ℝ¹ = ℝ, самото множество на реалните числа. Събирането и умножението на вектори тогава се превръщат в обикновено събиране и умножение на реални числа, а операциите събиране и умножение на реални числа със сигурност удовлетворяват всичките 7 точки.

Пространството ℝⁿ със сигурност ще срещнем още, това е доста често срещано векторно пространство.

Векторно пространство на матриците m × n

Множеството на всички матрици, които имат m реда и n стълба и съдържат само реални числа, заедно с операциите събиране на матрици и умножение на матрици със скалар образува векторно пространство. Съкратено това пространство ще означаваме с ℝ^{m × n}.

За m = 2, n = 3 бихме получили матрици, които имат два реда и три стълба. Пример за конкретна матрица е

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

Операцията събиране определяме така:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Обикновено събиране на матрици. Умножението със скалар ще определим подобно:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Така определените операции върху множеството на всички матрици ℝ^{m × n} образуват векторно пространство. Важното е, че винаги трябва да вземем множеството на всички матрици от един и същ тип. Ако в множеството попадне матрица от друг тип, например ако към ℝ^{2 × 2} добавим матрица от тип 3 × 1, ще имаме проблем, защото матрица от тип 3 × 1 дори не можем да съберем с матрица от тип 2 × 2.

Сега отново трябва да проверим, че така определеното векторно пространство удовлетворява всичките 7 условия, които поставяме на векторното пространство. Тъй като при матриците бихме изписали цели страници, или по-точно аз бих ги изписал, ще го направим съвсем накратко:

Сборът на две матрици ни връща нова матрица от същия тип. Умножението със скалар ни връща нова матрица от същия тип, така че по тип операциите ни си съответстват.

1. x + y = y + x: събирането на матрици е очевидно комутативно, защото елементът на координати ij в получената матрица ще има вида x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): събирането на матрици е и асоциативно, защото (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: отново е изпълнено, че a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: отново за елементите на координати ij получаваме равенството: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: пак само изразяваме елемента на координати ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: тъй като 1 · x_ij = x_ij, и тази точка е изпълнена.
• Съществуване на нулев елемент. Това е нулевата матрица, защото за всички матрици x на нашето векторно пространство е изпълнено, че 0 · x_ij = 0

Векторно пространство на многочлените

Многочленът, или още полином, означаваме с p(x) и той е израз от вида:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Допускаме, че a_n ≠ 0. Степента на такъв многочлен е числото n. Реалните числа a₀, …, a_n наричаме коефициенти на многочлена. Пример за многочлен е изразът 4 + 3x − 7x², където a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 и степента на многочлена е 2. Някои коефициенти могат да са нулеви, така че изразът x² + π x⁷ е многочлен от степен 7 и a₂ = 1, a₇ = π, а останалите коефициенти са нулеви.

Многочлените можем да събираме просто – събираме коефициентите им. Пример:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

В общия случай събирането на многочлени бихме определили така:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

където q е по-голямото от числата m и n. k-кратното на многочлена p(x) получаваме, като с числото k умножим всички коефициенти:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

За пример:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

Множеството на всички многочлени, нека го означим с P(X), с така определените операции събиране и умножение образува векторно пространство. Проверка:

Сборът на два многочлена отново ни дава многочлен, умножението със скалар също образува нов многочлен. По тип определените от нас операции си съответстват.

Останалите седем свойства, на които трябва да отговаря векторното пространство, можеш да провериш като домашно. Доказателството ще е практически същото както при предишните матрици, само че вместо x_ij ще пишеш x_i. Нулевият многочлен е многочленът p(x) = 0.

Докато при матриците изисквахме във векторното пространство да има само матрици от един и същ тип, при многочлените това не изискваме. Дори не можем да го изискваме. Ако вземем множеството на всички многочлени от степен две, това множество няма да образува векторно пространство. Защо? Можем да го покажем с контрапример. Събираме тези два многочлена:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Тъй като в първия многочлен има 3x², а във втория −3x², след събирането получихме 0x², с което обаче понижихме степента на многочлена. Многочленът 2 + 4x е многочлен от степен 1, не 2.