Exemplos de espaços vetoriais

Na parte anterior, definimos os espaços vetoriais, ou espaços lineares, e mostramos o exemplo do espaço vetorial clássico ℝ². Neste artigo, vamos ver outros exemplos.

O espaço vetorial Rⁿ

Já conhecemos o espaço vetorial ℝ², formado por vetores da forma (a, b), em que a, b são números reais. Vamos mostrar que, na verdade, qualquer conjunto de n-uplas ordenadas ℝⁿ, para n > 0, forma um espaço vetorial.

Para n = 2, obtemos o conjunto de pares (a, b). Se aumentarmos n para n = 3, obtemos o conjunto de ternas. Com isso, passamos do plano para o espaço. ℝ² representa, assim, o plano clássico, e ℝ³, o espaço tridimensional clássico.

As definições das operações de adição e multiplicação são as mesmas do caso n = 2, só que precisamos somar/multiplicar sempre todas as partes dos vetores:

$$\begin{array}{rcl}(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n)& =& (a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1,a_2,\dots ,a_n)& =& (k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n)\end{array}$$

Agora deveríamos demonstrar que o espaço vetorial ℝ³, ou, em geral, ℝⁿ, cumpre todos os sete pontos da definição de espaços vetoriais. No entanto, as demonstrações seriam praticamente iguais, só que, em vez de um vetor de duas componentes, trabalharíamos com um vetor de três componentes. Por exemplo, para n = 3, demonstraríamos assim o primeiro ponto, sobre a comutatividade da adição de vetores:

Devemos demonstrar: x + y = y + x, em que x, y ∈ ℝ³. Desenvolveríamos a adição de dois vetores:

$$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$$

Se, no lado esquerdo, trocarmos os vetores, obtemos:

$$(d,e,f)+(a,b,c)=(d+a,e+b,f+c)$$

Da propriedade da adição de dois números reais, porém, decorre que esses vetores resultantes são iguais, isto é, (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Se você comparar com a demonstração para n = 2 no artigo anterior, verá que essa demonstração é praticamente igual. Os outros seis pontos podem ser demonstrados de modo análogo.

O interessante, porém, é que ℝ¹ = ℝ, o próprio conjunto dos números reais, também é um espaço vetorial. A adição e a multiplicação de vetores se transformam, então, na simples adição e multiplicação de números reais, e as operações de adição e multiplicação de números reais certamente cumprem todos os 7 pontos.

Certamente ainda vamos encontrar o espaço ℝⁿ muitas vezes; é um espaço vetorial bastante comum.

O espaço vetorial das matrizes m × n

O conjunto de todas as matrizes que têm m linhas e n colunas e que contêm apenas números reais forma, junto com as operações de adição de matrizes e de multiplicação de matrizes por um escalar, um espaço vetorial. Para abreviar, vamos representar esse espaço por ℝ^{m × n}.

Para m = 2, n = 3 obteríamos matrizes que têm duas linhas e três colunas. Um exemplo de matriz concreta é

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

Definimos a operação de adição assim:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

A adição clássica de matrizes. Vamos definir a multiplicação por um escalar de modo parecido:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

As operações assim definidas no conjunto de todas as matrizes ℝ^{m × n} formam um espaço vetorial. O importante é que sempre precisamos tomar o conjunto de todas as matrizes da mesma ordem. Se uma matriz de outra ordem se intrometesse ali, por exemplo, se acrescentássemos a ℝ^{2 × 2} uma matriz de ordem 3 × 1, teríamos um problema, porque uma matriz de ordem 3 × 1 nem sequer pode ser somada com uma matriz de ordem 2 × 2.

Agora, novamente, deveríamos verificar que o espaço vetorial assim definido cumpre as 7 condições que impomos a um espaço vetorial. Como, no caso das matrizes, nos estenderíamos demais, ou melhor, eu me estenderia demais, vamos só resumir:

A soma de duas matrizes nos devolve uma nova matriz da mesma ordem. A multiplicação por um escalar nos devolve uma nova matriz da mesma ordem, então, quanto ao tipo, as nossas operações estão corretas.

1. x + y = y + x: a adição de matrizes é evidentemente comutativa, porque o elemento nas coordenadas ij na matriz resultante terá a forma x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): a adição de matrizes também é associativa, porque (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: novamente vale que a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: novamente, para os elementos nas coordenadas ij obtemos a igualdade: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: de novo, basta expressar o elemento nas coordenadas ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: como 1 · x_ij = x_ij, esse ponto também vale.
• Existência do elemento nulo. Ele é a matriz nula, porque, para todas as matrizes x do nosso espaço vetorial, vale que 0 · x_ij = 0

O espaço vetorial dos polinômios

Um polinômio, que representamos por p(x), é uma expressão da forma:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Supomos que a_n ≠ 0. O grau desse polinômio é, então, exatamente o número n. Os números reais a₀, …, a_n são chamados de coeficientes do polinômio. Um exemplo de polinômio é a expressão 4 + 3x − 7x², em que a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 e o grau do polinômio é 2. Alguns coeficientes podem ser nulos, de modo que a expressão x² + π x⁷ é um polinômio de grau 7, com a₂ = 1, a₇ = π e os outros coeficientes nulos.

Podemos somar polinômios com facilidade — basta somar os seus coeficientes. Exemplo:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

Em geral, poderíamos definir a adição de polinômios assim:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

em que q é o máximo entre os números m e n. Obtemos o produto do polinômio p(x) por k multiplicando todos os coeficientes pelo número k:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Por exemplo:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

O conjunto de todos os polinômios, que vamos chamar de P(X), com as operações de adição e multiplicação assim definidas, forma um espaço vetorial. Verificação:

A soma de dois polinômios nos dá novamente um polinômio, e a multiplicação por um escalar também produz um novo polinômio. Quanto ao tipo, as operações que definimos estão corretas.

Você pode verificar como lição de casa as outras sete propriedades que um espaço vetorial deve cumprir. A demonstração será praticamente igual à das matrizes anteriores, só que, em vez de x_ij, você escreverá x_i. O polinômio nulo é, então, o polinômio p(x) = 0.

Enquanto nas matrizes exigimos que no espaço vetorial houvesse só matrizes da mesma ordem, nos polinômios não exigimos isso. Nem sequer podemos exigir. Se tomássemos o conjunto de todos os polinômios de grau dois, esse conjunto não formaria um espaço vetorial. Por quê? Podemos mostrar isso com um contraexemplo. Somamos estes dois polinômios:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Como no primeiro polinômio há 3x² e no segundo −3x², depois da soma obtivemos 0x², com o que, porém, reduzimos o grau do polinômio. O polinômio 2 + 4x é um polinômio de grau 1, não de grau 2.