Voorbeelden van vectorruimten

In het vorige deel hebben we vectorruimten, oftewel lineaire ruimten, gedefinieerd en hebben we het voorbeeld van de klassieke vectorruimte ℝ² gezien. In dit artikel kijken we naar andere voorbeelden.

Vectorruimte Rⁿ

We kennen de vectorruimte ℝ² al, die bestaat uit vectoren van de vorm (a, b), waarbij a, b reële getallen zijn. We laten zien dat in werkelijkheid elke verzameling geordende n-tallen ℝⁿ, voor n > 0, een vectorruimte vormt.

Voor n = 2 krijgen we de verzameling paren (a, b). Als we n verhogen tot n = 3, krijgen we de verzameling drietallen. Zo komen we van het vlak in de ruimte. ℝ² stelt dus het klassieke vlak voor, ℝ³ de klassieke driedimensionale ruimte.

De definities van de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zijn dezelfde als bij n = 2, we moeten alleen altijd alle delen van de vectoren optellen/vermenigvuldigen:

$\begin{array}{rcl} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) & = & (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}) \\ k \cdot (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) & = & (k \cdot a_{1}, k \cdot a_{2}, \dots, k \cdot a_{n}) \end{array}$

Nu zouden we moeten bewijzen dat de vectorruimte ℝ³, of in het algemeen ℝⁿ, voldoet aan alle zeven punten uit de definitie van vectorruimten. De bewijzen zouden echter grotendeels hetzelfde zijn, alleen zouden we in plaats van een vector met twee componenten met een vector met drie componenten werken. Het eerste punt, over de commutativiteit van het optellen van vectoren, zouden we voor n = 3 bijvoorbeeld zo bewijzen:

We moeten bewijzen: x + y = y + x, waarbij x, y ∈ ℝ³. We zouden het optellen van twee vectoren uitschrijven:

$(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)$

Als we aan de linkerkant de vectoren verwisselen, krijgen we:

$(d, e, f) + (a, b, c) = (d + a, e + b, f + c)$

Uit de eigenschap van het optellen van twee reële getallen volgt echter dat die resulterende vectoren gelijk zijn, dus (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Als je dit vergelijkt met het bewijs voor n = 2 in het vorige artikel, zie je dat dat bewijs vrijwel hetzelfde is. De andere zes punten kunnen dus op een vergelijkbare manier worden bewezen.

Interessant is echter dat ook ℝ¹ = ℝ, de verzameling van de reële getallen zelf, een vectorruimte is. Het optellen en vermenigvuldigen van vectoren verandert dan in het gewone optellen en vermenigvuldigen van reële getallen en de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen van reële getallen voldoen zeker aan alle 7 punten.

Met de ruimte ℝⁿ krijgen we zeker nog te maken, het is een vrij gewone vectorruimte.

Vectorruimte van matrices m × n

De verzameling van alle matrices met m rijen en n kolommen die alleen reële getallen bevatten, vormt samen met de bewerkingen optellen van matrices en vermenigvuldigen van matrices met een scalair een vectorruimte. Kortweg noteren we deze ruimte als ℝ^{m × n}.

Voor m = 2, n = 3 zouden we matrices krijgen met twee rijen en drie kolommen. Een voorbeeld van een concrete matrix is

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

De bewerking optellen definiëren we zo:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

Klassiek optellen van matrices. Het vermenigvuldigen met een scalair definiëren we op dezelfde manier:

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

De zo gedefinieerde bewerkingen op de verzameling van alle matrices ℝ^{m × n} vormen een vectorruimte. Belangrijk is dat we altijd de verzameling van alle matrices van hetzelfde type moeten nemen. Als er een matrix van een ander type tussen zou komen, bijvoorbeeld als we bij ℝ^{2 × 2} een matrix van het type 3 × 1 zouden toevoegen, zouden we een probleem hebben, want een matrix van het type 3 × 1 kunnen we niet eens optellen bij een matrix van het type 2 × 2.

Nu zouden we weer moeten controleren dat de zo gedefinieerde vectorruimte voldoet aan alle 7 voorwaarden die we aan een vectorruimte stellen. Omdat dat bij matrices een hele lap tekst zou worden, en vooral ik zou me een ongeluk schrijven, houden we het kort:

Het optellen van twee matrices geeft ons een nieuwe matrix van hetzelfde type. Het vermenigvuldigen met een scalair geeft ons een nieuwe matrix van hetzelfde type, dus qua type kloppen onze bewerkingen.

x + y = y + x: het optellen van matrices is evident commutatief, want het element op de plaats ij in de resulterende matrix heeft de vorm x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

(x + y) + z = x + (y + z): het optellen van matrices is ook associatief, want (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
a · (b · x) = (a · b) · x: ook hier geldt dat a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
a · (x + y) = a · x + a · y: ook voor de elementen op de plaats ij krijgen we de gelijkheid: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
(a + b) · x = a · x + b · x: we drukken weer alleen het element op de plaats ij uit: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
1 · x = x: omdat 1 · x_ij = x_ij, geldt ook dit punt.
Bestaan van een nulelement. Dat is de nulmatrix, want voor alle matrices x van onze vectorruimte geldt dat 0 · x_ij = 0

Vectorruimte van veeltermen

Een veelterm noteren we als p(x) en het is een uitdrukking van de vorm:

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

We nemen aan dat a_n ≠ 0. De graad van zo'n veelterm is dan precies het getal n. De reële getallen a₀, …, a_n noemen we de coëfficiënten van de veelterm. Een voorbeeld van een veelterm is de uitdrukking 4 + 3x − 7x², waarbij a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 en de graad van de veelterm 2 is. Sommige coëfficiënten kunnen nul zijn, dus de uitdrukking x² + π x⁷ is een veelterm van graad 7 en a₂ = 1, a₇ = π en de andere coëfficiënten zijn nul.

Veeltermen kunnen we eenvoudig optellen — we tellen gewoon hun coëfficiënten op. Voorbeeld:

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

In het algemeen zouden we het optellen van veeltermen zo kunnen definiëren:

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

waarbij q het maximum van de getallen m en n is. Het k-voud van een veelterm p(x) krijgen we door alle coëfficiënten met het getal k te vermenigvuldigen:

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

Ter illustratie:

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

De verzameling van alle veeltermen, die we P(X) noemen, vormt met de zo gedefinieerde bewerkingen optellen en vermenigvuldigen een vectorruimte. Controle:

De som van twee veeltermen geeft ons weer een veelterm, vermenigvuldigen met een scalair levert ook een nieuwe veelterm op. Qua type kloppen onze bewerkingen.

De overige zeven eigenschappen waaraan een vectorruimte moet voldoen, kun je als huiswerk controleren. Het bewijs is vrijwel hetzelfde als bij de voorgaande matrices, alleen schrijf je in plaats van x_ij gewoon x_i. De nulveelterm is dan de veelterm p(x) = 0.

Terwijl we bij matrices eisten dat in de vectorruimte alleen matrices van hetzelfde type zitten, eisen we dat bij veeltermen niet. We kunnen het zelfs niet eisen. Als we de verzameling van alle veeltermen van graad twee zouden nemen, zou deze verzameling geen vectorruimte vormen. Waarom? We kunnen dat laten zien met een tegenvoorbeeld. We tellen deze twee veeltermen op:

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

Doordat in de eerste veelterm 3x² staat en in de tweede −3x², hebben we na het optellen 0x² gekregen, en daarmee hebben we de graad van de veelterm verlaagd. De veelterm 2 + 4x is een veelterm van graad 1, niet 2.

Hoofdstukken: Vectorruimten, Voorbeelden van vectorruimten, Deelruimte, Lineaire combinatie van vectoren, Lineair opspansel, Basis van een vectorruimte, Dimensie van een vectorruimte, Basisveranderingsmatrix

« Vorige: Vectorruimten

Volgende: Deelruimte »

Voorbeelden van vectorruimten

Vectorruimte Rn

Vectorruimte van matrices m × n

Vectorruimte van veeltermen

Vectorruimte Rⁿ