Esempi di spazi vettoriali

Nella parte precedente abbiamo definito gli spazi vettoriali, o spazi lineari, e abbiamo visto l’esempio del classico spazio vettoriale ℝ². In questo articolo vediamo altri esempi.

Lo spazio vettoriale Rⁿ

Conosciamo già lo spazio vettoriale ℝ², formato da vettori della forma (a; b), dove a, b sono numeri reali. Mostriamo che in realtà qualsiasi insieme di n-uple ordinate ℝⁿ, per n > 0, forma uno spazio vettoriale.

Per n = 2 otteniamo l’insieme delle coppie (a; b). Se aumentiamo n a n = 3, otteniamo l’insieme delle terne. Così passiamo dal piano allo spazio. ℝ² rappresenta quindi il classico piano, ℝ³ il classico spazio tridimensionale.

Le operazioni di somma e di moltiplicazione sono definite come nel caso n = 2, solo che dobbiamo sommare/moltiplicare sempre tutte le componenti dei vettori:

$$\begin{array}{rcl}(a_1;a_2;\dots ;a_n)+(b_1;b_2;\dots ;b_n)& =& (a_1+b_1;a_2+b_2;\dots ;a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1;a_2;\dots ;a_n)& =& (k\cdot a_1;k\cdot a_2;\dots ;k\cdot a_n)\end{array}$$

Ora dovremmo dimostrare che lo spazio vettoriale ℝ³, o più in generale ℝⁿ, soddisfa tutti e sette i punti della definizione di spazio vettoriale. Tuttavia le dimostrazioni sarebbero più o meno le stesse, solo che al posto di un vettore con due componenti lavoreremmo con un vettore con tre componenti. Per esempio, il primo punto, quello sulla commutatività della somma di vettori, per n = 3 lo dimostreremmo così:

Dobbiamo dimostrare: x + y = y + x, dove x, y ∈ ℝ³. Scriveremmo la somma di due vettori:

$$(a;b;c)+(d;e;f)=(a+d;b+e;c+f)$$

Se a sinistra scambiamo i vettori, otteniamo:

$$(d;e;f)+(a;b;c)=(d+a;e+b;f+c)$$

Dalla proprietà della somma di due numeri reali segue però che i vettori risultanti sono uguali, cioè (a + d; b + e; c + f) = (d + a; e + b; f + c).

Se confronti questa dimostrazione con quella per n = 2 dell’articolo precedente, vedrai che è praticamente identica. Gli altri sei punti si possono quindi dimostrare in modo analogo.

È interessante, però, che sia uno spazio vettoriale anche ℝ¹ = ℝ, cioè l’insieme dei numeri reali stesso. La somma e la moltiplicazione di vettori si trasformano allora nella comune somma e moltiplicazione di numeri reali, e le operazioni di somma e moltiplicazione dei numeri reali soddisfano certamente tutti e 7 i punti.

Lo spazio ℝⁿ lo incontreremo sicuramente ancora: è uno spazio vettoriale piuttosto comune.

Lo spazio vettoriale delle matrici m × n

L’insieme di tutte le matrici con m righe e n colonne, i cui elementi sono soltanto numeri reali, forma, insieme alle operazioni di somma di matrici e di moltiplicazione di una matrice per uno scalare, uno spazio vettoriale. Per brevità indicheremo questo spazio con ℝ^{m × n}.

Per m = 2, n = 3 otterremmo matrici con due righe e tre colonne. Un esempio di matrice concreta è

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

L’operazione di somma si definisce così:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

È la classica somma di matrici. La moltiplicazione per uno scalare la definiamo in modo simile:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Le operazioni così definite sull’insieme di tutte le matrici ℝ^{m × n} formano uno spazio vettoriale. È importante prendere sempre l’insieme di tutte le matrici dello stesso tipo. Se ce ne finisse in mezzo una di tipo diverso, per esempio se a ℝ^{2 × 2} aggiungessimo una matrice di tipo 3 × 1, avremmo un problema, perché una matrice di tipo 3 × 1 non si può nemmeno sommare a una matrice di tipo 2 × 2.

Ora dovremmo di nuovo verificare che lo spazio vettoriale così definito soddisfi tutte e 7 le condizioni che imponiamo a uno spazio vettoriale. Poiché nel caso delle matrici ci dilungheremmo troppo, anzi, soprattutto mi dilungherei io, tagliamo corto:

La somma di due matrici ci restituisce una nuova matrice dello stesso tipo. La moltiplicazione per uno scalare ci restituisce una nuova matrice dello stesso tipo, quindi, quanto ai tipi, le nostre operazioni tornano.

1. x + y = y + x: la somma di matrici è evidentemente commutativa, perché l’elemento di posto ij nella matrice risultante avrà la forma x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): la somma di matrici è anche associativa, perché (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: anche qui vale a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: anche qui, per gli elementi di posto ij, otteniamo l’uguaglianza a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: di nuovo esprimiamo solo l’elemento di posto ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: poiché 1 · x_ij = x_ij, vale anche questo punto.
• Esistenza dell’elemento nullo. È la matrice nulla, perché per tutte le matrici x del nostro spazio vettoriale vale 0 · x_ij = 0

Lo spazio vettoriale dei polinomi

Un polinomio si indica con p(x) ed è un’espressione della forma:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Supponiamo che a_n ≠ 0. Il grado di un tale polinomio è allora proprio il numero n. I numeri reali a₀, …, a_n si chiamano coefficienti del polinomio. Un esempio di polinomio è l’espressione 4 + 3x − 7x², dove a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 e il grado del polinomio è 2. Alcuni coefficienti possono essere nulli, quindi l’espressione x² + π x⁷ è un polinomio di grado 7 con a₂ = 1, a₇ = π e tutti gli altri coefficienti nulli.

I polinomi si sommano facilmente: basta sommare i loro coefficienti. Esempio:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

In generale potremmo definire la somma di polinomi così:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

dove q è il massimo tra i numeri m e n. Il multiplo k di un polinomio p(x) si ottiene moltiplicando tutti i coefficienti per il numero k:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Come esempio:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

L’insieme di tutti i polinomi, che indichiamo con P(X), con le operazioni di somma e di moltiplicazione così definite forma uno spazio vettoriale. Verifica:

La somma di due polinomi ci dà di nuovo un polinomio, e anche la moltiplicazione per uno scalare produce un nuovo polinomio. Quanto ai tipi, le operazioni da noi definite tornano.

Le altre sette proprietà che deve soddisfare uno spazio vettoriale puoi verificarle come compito per casa. La dimostrazione sarà praticamente identica a quella per le matrici, solo che al posto di x_ij scriverai x_i. Il polinomio nullo è il polinomio p(x) = 0.

Mentre per le matrici abbiamo richiesto che nello spazio vettoriale ci fossero solo matrici dello stesso tipo, per i polinomi non lo richiediamo. Anzi, non possiamo nemmeno richiederlo. Se prendessimo l’insieme di tutti i polinomi di grado due, questo insieme non formerebbe uno spazio vettoriale. Perché? Lo possiamo mostrare con un controesempio. Sommiamo questi due polinomi:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Poiché nel primo polinomio c’è 3x² e nel secondo −3x², dopo la somma abbiamo ottenuto 0x², e così abbiamo abbassato il grado del polinomio. Il polinomio 2 + 4x è un polinomio di grado 1, non 2.