Ejemplos de espacios vectoriales

En la parte anterior hemos definido los espacios vectoriales, también llamados espacios lineales, y hemos visto el ejemplo del espacio vectorial clásico ℝ². En este artículo veremos otros ejemplos.

Espacio vectorial Rⁿ

Ya conocemos el espacio vectorial ℝ², formado por vectores de la forma (a, b), donde a, b son números reales. Veremos que, en realidad, cualquier conjunto de n-uplas ordenadas ℝⁿ, con n > 0, forma un espacio vectorial.

Para n = 2 obtenemos el conjunto de pares (a, b). Si aumentamos n a n = 3, obtenemos el conjunto de ternas. Así pasamos del plano al espacio. ℝ² representa, pues, el plano clásico y ℝ³ el espacio tridimensional clásico.

Las operaciones de suma y multiplicación se definen igual que en el caso n = 2; solo hay que sumar o multiplicar siempre todas las componentes de los vectores:

$$\begin{array}{rcl}(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n)& =& (a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1,a_2,\dots ,a_n)& =& (k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n)\end{array}$$

Ahora deberíamos demostrar que el espacio vectorial ℝ³, o en general ℝⁿ, cumple los siete puntos de la definición de espacio vectorial. Sin embargo, las demostraciones serían prácticamente las mismas, solo que en lugar de un vector de dos componentes trabajaríamos con uno de tres. Por ejemplo, el primer punto, que habla de la conmutatividad de la suma de vectores, lo demostraríamos para n = 3 así:

Hay que demostrar que x + y = y + x, donde x, y ∈ ℝ³. Desarrollamos la suma de dos vectores:

$$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$$

Si en el primer miembro intercambiamos los vectores, obtenemos:

$$(d,e,f)+(a,b,c)=(d+a,e+b,f+c)$$

Pero de la propiedad de la suma de dos números reales se deduce que los vectores resultantes son iguales, es decir, (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Si lo comparas con la demostración para n = 2 del artículo anterior, verás que es prácticamente la misma. Los otros seis puntos se pueden demostrar de forma análoga.

Lo curioso es que también ℝ¹ = ℝ, el propio conjunto de los números reales, es un espacio vectorial. La suma y la multiplicación de vectores se convierten entonces en la suma y la multiplicación habituales de números reales, y estas operaciones cumplen sin duda los 7 puntos.

Sin duda volveremos a encontrarnos con el espacio ℝⁿ; es un espacio vectorial bastante habitual.

Espacio vectorial de matrices m × n

El conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas que contienen solo números reales forma, junto con las operaciones de suma de matrices y multiplicación de una matriz por un escalar, un espacio vectorial. Para abreviar, denotaremos este espacio por ℝ^{m × n}.

Para m = 2, n = 3 obtendríamos matrices de dos filas y tres columnas. Un ejemplo de matriz concreta es

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

La operación de suma la definimos así:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Es la suma de matrices de siempre. La multiplicación por un escalar la definiremos de forma parecida:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Las operaciones así definidas en el conjunto de todas las matrices ℝ^{m × n} forman un espacio vectorial. Es importante que siempre tomemos el conjunto de todas las matrices de la misma dimensión. Si se nos colara una matriz de otra dimensión, por ejemplo si a ℝ^{2 × 2} le añadiéramos una matriz de dimensión 3 × 1, tendríamos un problema, porque una matriz de dimensión 3 × 1 ni siquiera se puede sumar con una matriz de dimensión 2 × 2.

Ahora deberíamos comprobar de nuevo que el espacio vectorial así definido cumple las 7 condiciones que exigimos a un espacio vectorial. Como con las matrices tendríamos que escribir muchísimo (sobre todo yo), lo haremos solo brevemente:

La suma de dos matrices nos da una nueva matriz de la misma dimensión. La multiplicación por un escalar nos da una nueva matriz de la misma dimensión, así que las operaciones encajan en cuanto a los tipos de objetos.

1. x + y = y + x: la suma de matrices es evidentemente conmutativa, porque el elemento de la posición ij de la matriz resultante tendrá la forma x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): la suma de matrices también es asociativa, porque (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: de nuevo se cumple que a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: de nuevo, para los elementos de la posición ij obtenemos la igualdad: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: otra vez basta con expresar el elemento de la posición ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: como 1 · x_ij = x_ij, también se cumple este punto.
• Existencia del vector nulo. Es la matriz nula, porque para todas las matrices x de nuestro espacio vectorial se cumple que 0 · x_ij = 0

Espacio vectorial de polinomios

Un polinomio se denota p(x) y es una expresión de la forma:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Suponemos que a_n ≠ 0. El grado de un polinomio así es justamente el número n. Los números reales a₀, …, a_n se llaman coeficientes del polinomio. Un ejemplo de polinomio es la expresión 4 + 3x − 7x², donde a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 y el grado del polinomio es 2. Algunos coeficientes pueden ser nulos, así que la expresión x² + π x⁷ es un polinomio de grado 7 con a₂ = 1, a₇ = π y los demás coeficientes nulos.

Los polinomios se pueden sumar fácilmente: basta sumar sus coeficientes. Ejemplo:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

En general, podríamos definir la suma de polinomios así:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

donde q es el máximo de los números m y n. El producto de un polinomio p(x) por k se obtiene multiplicando por el número k todos los coeficientes:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Un ejemplo:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

El conjunto de todos los polinomios, que denotaremos P(X), con las operaciones de suma y multiplicación definidas así, forma un espacio vectorial. Comprobación:

La suma de dos polinomios vuelve a dar un polinomio, y la multiplicación por un escalar también produce un nuevo polinomio. Las operaciones que hemos definido encajan, pues, en cuanto a los tipos de objetos.

Las otras siete propiedades que debe cumplir un espacio vectorial puedes comprobarlas tú mismo como tarea. La demostración será prácticamente igual que con las matrices, solo que en lugar de x_ij escribirás x_i. El polinomio nulo es el polinomio p(x) = 0.

Mientras que con las matrices exigíamos que en el espacio vectorial hubiera solo matrices de la misma dimensión, con los polinomios no lo exigimos. Ni siquiera podemos exigirlo. Si tomáramos el conjunto de todos los polinomios de grado dos, este conjunto no formaría un espacio vectorial. ¿Por qué? Podemos verlo con un contraejemplo. Sumemos estos dos polinomios:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Como el primer polinomio tiene 3x² y el segundo −3x², al sumarlos hemos obtenido 0x², con lo que hemos reducido el grado del polinomio. El polinomio 2 + 4x es de grado 1, no 2.