Beispiele für Vektorräume

Im vorigen Teil haben wir Vektorräume, auch lineare Räume genannt, definiert und das Beispiel des klassischen Vektorraums ℝ² gezeigt. In diesem Artikel schauen wir uns weitere Beispiele an.

Der Vektorraum Rⁿ

Den Vektorraum ℝ² kennen wir schon. Er besteht aus Vektoren der Form (a, b), wobei a, b reelle Zahlen sind. Wir zeigen, dass in Wirklichkeit jede Menge geordneter n-Tupel ℝⁿ für n > 0 einen Vektorraum bildet.

Für n = 2 erhalten wir die Menge der Paare (a, b). Erhöhen wir n auf n = 3, bekommen wir die Menge der Tripel. Damit gelangen wir von der Ebene in den Raum. ℝ² stellt also die klassische Ebene dar, ℝ³ den klassischen dreidimensionalen Raum.

Die Operationen Addition und Multiplikation sind genauso definiert wie im Fall n = 2, wir müssen nur immer alle Komponenten der Vektoren addieren bzw. multiplizieren:

$$\begin{array}{rcl}[a_1,a_2,\dots ,a_n]+[b_1,b_2,\dots ,b_n]& =& [a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n]\\ k\cdot [a_1,a_2,\dots ,a_n]& =& [k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n]\end{array}$$

Jetzt müssten wir beweisen, dass der Vektorraum ℝ³ bzw. allgemein ℝⁿ alle sieben Punkte aus der Definition des Vektorraums erfüllt. Die Beweise wären jedoch im Wesentlichen gleich, wir würden nur statt eines Vektors mit zwei Komponenten mit einem Vektor mit drei Komponenten arbeiten. Den ersten Punkt, der von der Kommutativität der Vektoraddition handelt, würden wir für n = 3 zum Beispiel so beweisen:

Zu beweisen ist: x + y = y + x, wobei x, y ∈ ℝ³. Wir schreiben die Addition zweier Vektoren aus:

$$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$$

Vertauschen wir auf der linken Seite die Vektoren, erhalten wir:

$$(d,e,f)+[a,b,c]=(d+a,e+b,f+c)$$

Aus der Eigenschaft der Addition zweier reeller Zahlen folgt aber, dass die resultierenden Vektoren gleich sind, d. h. (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Vergleichst du das mit dem Beweis für n = 2 im vorigen Artikel, stellst du fest, dass der Beweis praktisch derselbe ist. Die übrigen sechs Punkte lassen sich auf ähnliche Weise beweisen.

Interessant ist aber, dass auch ℝ¹ = ℝ, also die Menge der reellen Zahlen selbst, ein Vektorraum ist. Addition und Multiplikation von Vektoren werden dann zur gewöhnlichen Addition und Multiplikation reeller Zahlen, und die Operationen Addition und Multiplikation reeller Zahlen erfüllen sicher alle 7 Punkte.

Dem Raum ℝⁿ werden wir bestimmt noch begegnen, er ist ein recht gewöhnlicher Vektorraum.

Der Vektorraum der m × n-Matrizen

Die Menge aller Matrizen mit m Zeilen und n Spalten, die nur reelle Zahlen enthalten, bildet zusammen mit der Addition von Matrizen und der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar einen Vektorraum. Kurz bezeichnen wir diesen Raum mit ℝ^{m × n}.

Für m = 2, n = 3 erhielten wir Matrizen mit zwei Zeilen und drei Spalten. Ein Beispiel für eine konkrete Matrix ist

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

Die Addition definieren wir so:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Das ist die übliche Addition von Matrizen. Die Multiplikation mit einem Skalar definieren wir ähnlich:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Die so definierten Operationen auf der Menge aller Matrizen ℝ^{m × n} bilden einen Vektorraum. Wichtig ist, dass wir immer die Menge aller Matrizen desselben Typs nehmen müssen. Würde sich eine Matrix eines anderen Typs einschleichen, etwa wenn wir zu ℝ^{2 × 2} eine Matrix vom Typ 3 × 1 hinzufügten, hätten wir ein Problem, denn eine Matrix vom Typ 3 × 1 können wir mit einer Matrix vom Typ 2 × 2 gar nicht addieren.

Nun sollten wir wieder überprüfen, dass der so definierte Vektorraum alle 7 Bedingungen erfüllt, die wir an einen Vektorraum stellen. Weil wir uns bei Matrizen die Finger wund schreiben würden, vor allem ich, fassen wir uns kurz:

Die Addition zweier Matrizen liefert uns wieder eine Matrix desselben Typs. Die Multiplikation mit einem Skalar liefert uns wieder eine Matrix desselben Typs, die Operationen passen also typmäßig zusammen.

1. x + y = y + x: Die Addition von Matrizen ist offensichtlich kommutativ, denn das Element an der Position ij in der Ergebnismatrix hat die Form x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): Die Addition von Matrizen ist auch assoziativ, denn (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: Wieder gilt a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: Wieder erhalten wir für die Elemente an der Position ij die Gleichheit: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: Wir drücken wieder nur das Element an der Position ij aus: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: Weil 1 · x_ij = x_ij, gilt auch dieser Punkt.
• Existenz des Nullelements. Das ist die Nullmatrix, denn für alle Matrizen x unseres Vektorraums gilt 0 · x_ij = 0

Der Vektorraum der Polynome

Ein Polynom bezeichnen wir mit p(x), und es ist ein Term der Form:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Wir setzen voraus, dass a_n ≠ 0. Der Grad eines solchen Polynoms ist dann genau die Zahl n. Die reellen Zahlen a₀, …, a_n nennen wir Koeffizienten des Polynoms. Ein Beispiel für ein Polynom ist der Term 4 + 3x − 7x², wobei a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 und der Grad des Polynoms 2 ist. Manche Koeffizienten können null sein, also ist der Term x² + π x⁷ ein Polynom vom Grad 7 mit a₂ = 1, a₇ = π, und die übrigen Koeffizienten sind null.

Polynome können wir einfach addieren – wir addieren schlicht ihre Koeffizienten. Beispiel:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

Allgemein könnten wir die Addition von Polynomen so definieren:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

wobei q das Maximum der Zahlen m und n ist. Das k-fache des Polynoms p(x) erhalten wir, indem wir alle Koeffizienten mit der Zahl k multiplizieren:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Zur Veranschaulichung:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

Die Menge aller Polynome, bezeichnen wir sie mit P(X), bildet mit den so definierten Operationen Addition und Multiplikation einen Vektorraum. Nachweis:

Die Summe zweier Polynome ergibt wieder ein Polynom, die Multiplikation mit einem Skalar erzeugt ebenfalls ein neues Polynom. Die von uns definierten Operationen passen typmäßig zusammen.

Die weiteren sieben Eigenschaften, die ein Vektorraum erfüllen muss, kannst du als Hausaufgabe selbst überprüfen. Der Beweis ist praktisch derselbe wie bei den Matrizen, nur schreibst du statt x_ij einfach x_i. Das Nullpolynom ist dann das Polynom p(x) = 0.

Während wir bei Matrizen verlangt haben, dass im Vektorraum nur Matrizen desselben Typs liegen, verlangen wir das bei Polynomen nicht. Wir können es sogar gar nicht verlangen. Würden wir die Menge aller Polynome vom Grad zwei nehmen, bildete diese Menge keinen Vektorraum. Warum? Das können wir an einem Gegenbeispiel zeigen. Wir addieren diese beiden Polynome:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Weil im ersten Polynom 3x² steht und im zweiten −3x², haben wir nach der Addition 0x² erhalten und damit den Grad des Polynoms verringert. Das Polynom 2 + 4x hat den Grad 1, nicht 2.