Eksempler på vektorrom

I forrige del definerte vi vektorrom, eller lineære rom, og vi viste et eksempel på et klassisk vektorrom, ℝ². I denne artikkelen ser vi på flere eksempler.

Vektorrommet Rⁿ

Vi kjenner allerede vektorrommet ℝ², som består av vektorer på formen (a, b), der a, b er reelle tall. Vi viser at faktisk hver mengde av ordnede n-tupler ℝⁿ for n > 0 danner et vektorrom.

For n = 2 gjelder at vi får mengden av par (a, b). Hvis vi øker n til n = 3, får vi mengden av tripler. Dermed går vi fra planet over til rommet. ℝ² representerer altså det vanlige planet, ℝ³ det vanlige tredimensjonale rommet.

Definisjonene av addisjon og multiplikasjon er de samme som for n = 2, bare at vi alltid må addere/multiplisere alle delene av vektorene:

$\begin{array}{rcl} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) & = & (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}) \\ k \cdot (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) & = & (k \cdot a_{1}, k \cdot a_{2}, \dots, k \cdot a_{n}) \end{array}$

Nå skulle vi bevise at vektorrommet ℝ³, eller generelt ℝⁿ, oppfyller alle de sju punktene fra definisjonen av vektorrom. Men bevisene ville i hovedsak vært de samme, bare at vi i stedet for en vektor med to komponenter ville jobbet med en vektor med tre komponenter. For eksempel ville vi bevist det første punktet, om kommutativitet for addisjon av vektorer, for n = 3 slik:

Vi skal bevise: x + y = y + x, der x, y ∈ ℝ³. Vi ville skrevet ut addisjonen av to vektorer:

$(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)$

Hvis vi bytter om vektorene på venstre side, får vi:

$(d, e, f) + (a, b, c) = (d + a, e + b, f + c)$

Av egenskapen til addisjon av to reelle tall følger det imidlertid at de resulterende vektorene er like, altså (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Hvis du sammenligner dette med beviset for n = 2 i forrige artikkel, ser du at beviset er praktisk talt det samme. De andre seks punktene kan derfor bevises på tilsvarende måte.

Det interessante er imidlertid at også ℝ¹ = ℝ, selve mengden av de reelle tallene, er et vektorrom. Addisjon og multiplikasjon av vektorer går da over til vanlig addisjon og multiplikasjon av reelle tall, og operasjonene addisjon og multiplikasjon av reelle tall oppfyller sikkert alle 7 punktene.

Rommet ℝⁿ kommer vi sikkert til å møte igjen, det er et ganske vanlig vektorrom.

Vektorrommet av matriser m × n

Mengden av alle matriser som har m rader og n kolonner og som bare inneholder reelle tall, danner sammen med operasjonene addisjon av matriser og multiplikasjon av matriser med en skalar et vektorrom. Kort skriver vi dette rommet ℝ^{m × n}.

For m = 2, n = 3 ville vi fått matriser som har to rader og tre kolonner. Et eksempel på en konkret matrise er

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

Operasjonen addisjon definerer vi slik:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

Vanlig addisjon av matriser. Multiplikasjon med en skalar definerer vi på lignende måte:

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

Operasjonene definert på denne måten på mengden av alle matriser ℝ^{m × n} danner et vektorrom. Det er viktig at vi alltid må ta mengden av alle matriser av samme type. Hvis en matrise av en annen type skulle komme med, for eksempel hvis vi føyde en matrise av typen 3 × 1 til ℝ^{2 × 2}, ville vi fått et problem, for en matrise av typen 3 × 1 kan vi ikke engang addere med en matrise av typen 2 × 2.

Nå skulle vi igjen kontrollere at vektorrommet som er definert på denne måten, oppfyller alle 7 betingelsene som vi stiller til et vektorrom. Siden vi ville skrevet oss i hjel med matriser, eller rettere sagt jeg ville gjort det, tar vi det bare kort:

Addisjon av to matriser gir oss en ny matrise av samme type. Multiplikasjon med en skalar gir oss en ny matrise av samme type, så typemessig stemmer operasjonene våre.

x + y = y + x: addisjon av matriser er åpenbart kommutativ, for elementet på koordinatene ij i den resulterende matrisen har formen x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

(x + y) + z = x + (y + z): addisjon av matriser er også assosiativ, for (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
a · (b · x) = (a · b) · x: igjen gjelder a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
a · (x + y) = a · x + a · y: igjen får vi for elementene på koordinatene ij likheten: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
(a + b) · x = a · x + b · x: igjen uttrykker vi bare elementet på koordinatene ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
1 · x = x: siden 1 · x_ij = x_ij, gjelder også dette punktet.
Eksistens av nullelement. Det er nullmatrisen, for for alle matriser x i vektorrommet vårt gjelder at 0 · x_ij = 0

Vektorrommet av polynomer

Et polynom skriver vi p(x), og det er et uttrykk på formen:

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

Vi antar at a_n ≠ 0. Graden til et slikt polynom er da nettopp tallet n. De reelle tallene a₀, …, a_n kaller vi koeffisientene til polynomet. Et eksempel på et polynom kan være uttrykket 4 + 3x − 7x², der a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 og graden til polynomet er 2. Noen koeffisienter kan være null, så uttrykket x² + π x⁷ er et polynom av grad 7 med a₂ = 1, a₇ = π og de andre koeffisientene lik null.

Polynomer kan vi enkelt addere — vi adderer rett og slett koeffisientene deres. Eksempel:

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

Generelt kunne vi definere addisjon av polynomer slik:

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

der q er maksimum av tallene m og n. k ganger polynomet p(x) får vi så ved at vi multipliserer alle koeffisientene med tallet k:

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

Som eksempel:

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

Mengden av alle polynomer, la oss kalle den P(X), danner med operasjonene addisjon og multiplikasjon definert på denne måten et vektorrom. Kontroll:

Summen av to polynomer gir oss igjen et polynom, og multiplikasjon med en skalar lager også et nytt polynom. Typemessig stemmer operasjonene vi har definert.

De sju andre egenskapene som et vektorrom må oppfylle, kan du kontrollere som hjemmelekse. Beviset blir praktisk talt det samme som for matrisene ovenfor, bare at du i stedet for x_ij skriver x_i. Nullpolynomet er så polynomet p(x) = 0.

Mens vi for matrisene krevde at det i vektorrommet bare skulle være matriser av samme type, krever vi ikke dette for polynomer. Vi kan faktisk ikke engang kreve det. Hvis vi tok mengden av alle polynomer av grad to, ville ikke denne mengden danne et vektorrom. Hvorfor? Vi kan vise det med et moteksempel. Vi adderer disse to polynomene:

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

Siden det er 3x² i det første polynomet og −3x² i det andre, fikk vi 0x² etter addisjonen, og dermed har vi redusert graden til polynomet. Polynomet 2 + 4x er et polynom av grad 1, ikke 2.

Kapitler: Vektorrom, Eksempler på vektorrom, Underrom, Lineærkombinasjoner av vektorer, Lineært spenn, Basis for et vektorrom, Dimensjonen til et vektorrom, Basisskiftematrise

« Forrige: Vektorrom

Neste: Underrom »

Eksempler på vektorrom

Vektorrommet Rn

Vektorrommet av matriser m × n

Vektorrommet av polynomer

Vektorrommet Rⁿ