Exemple de spații vectoriale

În partea precedentă am definit spațiile vectoriale, sau spațiile liniare, și am arătat exemplul unui spațiu vectorial clasic, ℝ². În acest articol ne uităm la alte exemple.

Spațiul vectorial Rⁿ

Cunoaștem deja spațiul vectorial ℝ², format din vectori de forma (a, b), unde a, b sunt numere reale. Vom arăta că, de fapt, orice mulțime ℝⁿ de n-upluri ordonate, pentru n > 0, formează un spațiu vectorial.

Pentru n = 2 obținem mulțimea perechilor (a, b). Dacă mărim n la n = 3, obținem mulțimea tripletelor. Astfel trecem din plan în spațiu. ℝ² reprezintă deci planul clasic, iar ℝ³ spațiul clasic tridimensional.

Definițiile operațiilor de adunare și de înmulțire sunt aceleași ca în cazul n = 2, doar că trebuie să adunăm/înmulțim întotdeauna toate componentele vectorilor:

$$\begin{array}{rcl}(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n)& =& (a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1,a_2,\dots ,a_n)& =& (k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n)\end{array}$$

Acum ar trebui să demonstrăm că spațiul vectorial ℝ³, respectiv în general ℝⁿ, îndeplinește toate cele șapte puncte din definiția spațiilor vectoriale. Demonstrațiile ar fi însă, în mare, aceleași, doar că în loc de un vector cu două componente am lucra cu un vector cu trei componente. De exemplu, primul punct, despre comutativitatea adunării vectorilor, l-am demonstra pentru n = 3 astfel:

Avem de demonstrat: x + y = y + x, unde x, y ∈ ℝ³. Am scrie adunarea a doi vectori:

$$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$$

Dacă în membrul stâng schimbăm vectorii între ei, obținem:

$$(d,e,f)+(a,b,c)=(d+a,e+b,f+c)$$

Din proprietatea adunării a două numere reale rezultă însă că vectorii obținuți sunt egali, adică (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Dacă compari acest lucru cu demonstrația pentru n = 2 din articolul precedent, vei vedea că demonstrația este practic aceeași. Celelalte șase puncte se pot astfel demonstra în mod asemănător.

Interesant este însă că și ℝ¹ = ℝ, adică mulțimea numerelor reale însăși, este un spațiu vectorial. Adunarea și înmulțirea vectorilor se transformă atunci în adunarea și înmulțirea obișnuită a numerelor reale, iar operațiile de adunare și de înmulțire a numerelor reale îndeplinesc sigur toate cele 7 puncte.

Cu siguranță vom mai întâlni spațiul ℝⁿ, este un spațiu vectorial destul de obișnuit.

Spațiul vectorial al matricelor m × n

Mulțimea tuturor matricelor care au m linii și n coloane și care conțin numai numere reale formează, împreună cu operațiile de adunare a matricelor și de înmulțire a matricelor cu un scalar, un spațiu vectorial. Pe scurt, vom nota acest spațiu cu ℝ^{m × n}.

Pentru m = 2, n = 3 am obține matrice care au două linii și trei coloane. Un exemplu de matrice concretă este

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

Operația de adunare o definim astfel:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Adunarea obișnuită a matricelor. Înmulțirea cu un scalar o vom defini asemănător:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Operațiile definite astfel pe mulțimea tuturor matricelor ℝ^{m × n} formează un spațiu vectorial. Important este că trebuie să luăm întotdeauna mulțimea tuturor matricelor de același tip. Dacă s-ar strecura acolo o matrice de alt tip, de exemplu dacă am adăuga la ℝ^{2 × 2} o matrice de tip 3 × 1, am avea o problemă, pentru că o matrice de tip 3 × 1 nici nu o putem aduna cu o matrice de tip 2 × 2.

Acum ar trebui din nou să verificăm că spațiul vectorial definit astfel îndeplinește toate cele 7 condiții pe care le punem unui spațiu vectorial. Pentru că în cazul matricelor am scrie prea mult, mai exact eu aș scrie prea mult, vom fi scurți:

Adunarea a două matrice ne dă o matrice nouă de același tip. Înmulțirea cu un scalar ne dă o matrice nouă de același tip, deci operațiile noastre sunt corecte din punctul de vedere al tipului.

1. x + y = y + x: adunarea matricelor este evident comutativă, pentru că elementul de pe poziția ij din matricea rezultată va avea forma x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): adunarea matricelor este și asociativă, deoarece (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: din nou avem a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: din nou, pentru elementele de pe poziția ij obținem egalitatea: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: din nou exprimăm doar elementul de pe poziția ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: deoarece 1 · x_ij = x_ij, este îndeplinit și acest punct.
• Existența elementului nul. Acesta este matricea nulă, pentru că pentru orice matrice x din spațiul nostru vectorial avem 0 · x_ij = 0

Spațiul vectorial al polinoamelor

Polinomul îl notăm p(x) și este o expresie de forma:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Presupunem că a_n ≠ 0. Gradul unui astfel de polinom este atunci chiar numărul n. Numerele reale a₀, …, a_n se numesc coeficienții polinomului. Un exemplu de polinom poate fi expresia 4 + 3x − 7x², unde a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7, iar gradul polinomului este 2. Unii coeficienți pot fi nuli, deci expresia x² + π x⁷ este un polinom de gradul 7, cu a₂ = 1, a₇ = π, iar ceilalți coeficienți sunt nuli.

Polinoamele se pot aduna simplu – pur și simplu le adunăm coeficienții. Exemplu:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

În general, adunarea polinoamelor am putea-o defini astfel:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

unde q este maximul dintre numerele m și n. Multiplul de k ori al polinomului p(x) îl obținem înmulțind toți coeficienții cu numărul k:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Pentru exemplificare:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

Mulțimea tuturor polinoamelor, să o notăm P(X), cu operațiile de adunare și de înmulțire definite astfel, formează un spațiu vectorial. Verificare:

Suma a două polinoame ne dă din nou un polinom, iar înmulțirea cu un scalar creează de asemenea un polinom nou. Operațiile definite de noi sunt corecte din punctul de vedere al tipului.

Celelalte șapte proprietăți pe care trebuie să le îndeplinească un spațiu vectorial le poți verifica ca temă pentru acasă. Demonstrația va fi practic aceeași ca la matrice, doar că în loc de x_ij vei scrie x_i. Polinomul nul este atunci polinomul p(x) = 0.

În timp ce la matrice am cerut ca în spațiul vectorial să fie doar matrice de același tip, la polinoame nu cerem acest lucru. Nici nu putem cere. Dacă am lua mulțimea tuturor polinoamelor de gradul doi, această mulțime nu ar forma un spațiu vectorial. De ce? Putem arăta asta printr-un contraexemplu. Adunăm aceste două polinoame:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Deoarece în primul polinom avem 3x², iar în al doilea −3x², după adunare am obținut 0x², dar prin aceasta am scăzut gradul polinomului. Polinomul 2 + 4x este un polinom de gradul 1, nu 2.