Vektör Uzaylarına Örnekler

Önceki bölümde vektör uzaylarını, yani doğrusal uzayları tanımladık ve klasik bir vektör uzayı örneği olan ℝ² uzayını gösterdik. Bu yazıda başka örneklere bakacağız.

Rⁿ Vektör Uzayı

a, b gerçek sayı olmak üzere (a, b) biçimindeki vektörlerden oluşan ℝ² vektör uzayını zaten biliyoruz. Aslında n > 0 için sıralı n’lilerden oluşan her ℝⁿ kümesinin bir vektör uzayı oluşturduğunu göstereceğiz.

n = 2 için ikililer kümesini, yani (a, b) vektörlerini elde ederiz. n sayısını n = 3 yapınca üçlüler kümesini buluruz. Böylece düzlemden uzaya geçmiş oluruz. ℝ² klasik düzlemi, ℝ³ ise klasik üç boyutlu uzayı temsil eder.

Toplama ve çarpma işlemlerinin tanımı n = 2 durumundakiyle aynıdır; yalnızca vektörün tüm bileşenlerini toplamamız ya da çarpmamız gerekir:

$\begin{array}{rcl} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) & = & (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}) \\ k \cdot (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) & = & (k \cdot a_{1}, k \cdot a_{2}, \dots, k \cdot a_{n}) \end{array}$

Şimdi ℝ³ uzayının, genel olarak da ℝⁿ uzayının vektör uzayı tanımındaki yedi maddenin hepsini sağladığını ispatlamamız gerekirdi. Ancak ispatlar büyük ölçüde aynı olurdu; yalnızca iki bileşenli vektör yerine üç bileşenli vektörle çalışırdık. Örneğin vektör toplamının değişme özelliğini anlatan ilk maddeyi n = 3 için şöyle ispatlardık:

İspatlamamız gereken: x, y ∈ ℝ³ olmak üzere x + y = y + x. İki vektörün toplamını yazardık:

$(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)$

Sol tarafta vektörlerin yerini değiştirirsek şunu elde ederiz:

$(d, e, f) + (a, b, c) = (d + a, e + b, f + c)$

İki gerçek sayının toplamının özelliğinden bu sonuç vektörlerinin aynı olduğu çıkar, yani (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Bunu önceki yazıdaki n = 2 için yapılan ispatla karşılaştırırsan, ispatın neredeyse aynı olduğunu görürsün. Kalan altı madde de benzer biçimde ispatlanabilir.

İlginç olan, ℝ¹ = ℝ, yani gerçek sayılar kümesinin kendisinin de bir vektör uzayı olmasıdır. O zaman vektörlerin toplanması ve çarpılması, gerçek sayıların sıradan toplanmasına ve çarpılmasına dönüşür; gerçek sayılarda toplama ve çarpma işlemleri de 7 maddenin hepsini elbette sağlar.

ℝⁿ uzayıyla ileride kesinlikle yine karşılaşacağız; oldukça yaygın bir vektör uzayıdır.

m × n Matrislerin Vektör Uzayı

Gerçek sayılardan oluşan, m satırlı ve n sütunlu tüm matrislerin kümesi, matris toplama ve matrisin skalerle çarpılması işlemleriyle birlikte bir vektör uzayı oluşturur. Bu uzayı kısaca ℝ^{m × n} diye göstereceğiz.

m = 2, n = 3 için iki satırlı ve üç sütunlu matrisleri elde ederiz. Somut bir matris örneği:

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

Toplama işlemini şöyle tanımlıyoruz:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

Bildiğimiz matris toplama. Skalerle çarpmayı da benzer biçimde tanımlayacağız:

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

Bu şekilde tanımlanan işlemler, tüm ℝ^{m × n} matrisleri kümesi üzerinde bir vektör uzayı oluşturur. Önemli olan, her zaman aynı tipteki tüm matrisleri almamız gerektiğidir. Araya başka tipte bir matris karışsaydı, örneğin ℝ^{2 × 2} kümesine 3 × 1 tipinde bir matris ekleseydik, sorun yaşardık; çünkü 3 × 1 tipinde bir matrisi 2 × 2 tipinde bir matrisle toplayamayız bile.

Şimdi yine, bu şekilde tanımlanan uzayın, vektör uzayı için koyduğumuz 7 koşulun hepsini sağladığını doğrulamamız gerekirdi. Matrislerde yazmaktan bitap düşerdik, daha doğrusu ben düşerdim, o yüzden kısaca:

İki matrisin toplamı bize yine aynı tipte yeni bir matris verir. Skalerle çarpma da aynı tipte yeni bir matris verir; yani işlemlerimiz tür bakımından uyumludur.

x + y = y + x: matris toplamı açıkça değişmelidir, çünkü sonuç matrisinde ij konumundaki eleman x_ij + y_ij = y_ij + x_ij biçiminde olur.

(x + y) + z = x + (y + z): matris toplamı aynı zamanda birleşme özelliğine de sahiptir, çünkü (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
a · (b · x) = (a · b) · x: yine a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij geçerlidir
a · (x + y) = a · x + a · y: yine ij konumundaki elemanlar için şu eşitliği elde ederiz: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
(a + b) · x = a · x + b · x: yine yalnızca ij konumundaki elemanı yazarız: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
1 · x = x: 1 · x_ij = x_ij olduğundan bu madde de sağlanır.
Sıfır elemanın varlığı. Bu sıfır matristir, çünkü vektör uzayımızdaki tüm x matrisleri için 0 · x_ij = 0 olur

Polinomların Vektör Uzayı

p(x) ile gösterdiğimiz polinom, şu biçimde bir ifadedir:

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

a_n ≠ 0 olduğunu varsayarız. Böyle bir polinomun derecesi tam olarak n sayısıdır. a₀, …, a_n gerçek sayılarına polinomun katsayıları deriz. Polinoma örnek olarak 4 + 3x − 7x² ifadesi verilebilir; burada a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 ve polinomun derecesi 2’dir. Bazı katsayılar sıfır olabilir; bu yüzden x² + π x⁷ ifadesi 7. dereceden bir polinomdur, a₂ = 1, a₇ = π olur ve diğer katsayıların hepsi sıfırdır.

Polinomları kolayca toplayabiliriz; kısacası katsayılarını toplarız. Örnek:

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

Genel olarak polinom toplamını şöyle tanımlayabilirdik:

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

burada q, m ve n sayılarından büyük olanıdır. p(x) polinomunun k katını ise tüm katsayıları k sayısıyla çarparak elde ederiz:

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

Bir örnek:

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

P(X) ile göstereceğimiz tüm polinomlar kümesi, bu şekilde tanımlanan toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte bir vektör uzayı oluşturur. Doğrulama:

İki polinomun toplamı bize yine bir polinom verir, skalerle çarpma da yeni bir polinom oluşturur. Tanımladığımız işlemler tür bakımından uyumludur.

Vektör uzayının sağlaması gereken diğer yedi özelliği ödev olarak kendin doğrulayabilirsin. İspat, önceki matrislerdeki ispatla neredeyse aynı olacak; yalnızca x_ij yerine x_i yazacaksın. Sıfır polinom da p(x) = 0 polinomudur.

Matrislerde vektör uzayında yalnızca aynı tipteki matrislerin bulunmasını istemiştik; polinomlarda ise bunu istemiyoruz. Hatta isteyemeyiz bile. Derecesi 2 olan tüm polinomların kümesini alsaydık, bu küme bir vektör uzayı oluşturmazdı. Neden? Bir karşı örnekle gösterebiliriz. Şu iki polinomu toplayalım:

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

İlk polinomda 3x², ikincide −3x² olduğundan toplayınca 0x² elde ettik, yani polinomun derecesini düşürdük. 2 + 4x polinomu 1. dereceden bir polinomdur, 2. dereceden değil.

Bölümler: Vektör Uzayları, Vektör Uzaylarına Örnekler, Vektör Alt Uzayı, Vektörlerin Doğrusal Birleşimi, Doğrusal Germe, Vektör Uzayının Tabanı, Vektör Uzayının Boyutu, Taban Değiştirme Matrisi

« Önceki: Vektör uzayları

Sonraki: Vektör Alt Uzayı »

Vektör Uzaylarına Örnekler

Rn Vektör Uzayı

m × n Matrislerin Vektör Uzayı

Polinomların Vektör Uzayı

Rⁿ Vektör Uzayı