調和平均

調和平均は平均の一種で、主に速さのような割合を扱うときに使います。

平均の速さ

例として、電車で旅行に出かけたとします。行きの電車の平均の速さは時速120 kmでした。帰りも同じ路線を電車で戻りましたが、今度の電車はのんびり走り、時速40 kmしか出ませんでした。往復全体での電車の平均の速さはどれだけでしょうか。次のように相加平均で平均の速さを求めたくなるかもしれません。

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

そして、平均の速さは時速80 kmだったと答えたくなります。ところが、これは正しくありません。簡単に確かめられます。行きに電車が1時間走ったとしましょう。平均の速さが時速120 kmなので、その1時間で120 km進んだことになります。帰りの平均の速さが時速40 kmなら、同じ120 kmを進むのに3時間かかります。全体では、電車は4時間で240 km進みました。ここから平均の速さを求めると、次のようになります。

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

相加平均ではうまくいきませんでした。二つの速さ120と40の平均をどう計算すれば、正しい結果が得られるでしょうか。

調和平均

相加平均の代わりに使えるのが調和平均です。まず分数をつくり、分子には平均を求める値の個数を入れます。今の例では速さが二つあるので2です。

$$\frac{2}{?}$$

分母には、二つの速さの逆数の和を入れます。速さ120の逆数は 120⁻¹、つまり $\frac{1}{120}$ です。次の分数が得られます。

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

分母の分数を通分します。

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

これで分数を簡単にたし算できます。

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

少し変わった形の分数ですが、心配はいりません。次のように積の形に直します。

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

この変形がわかりにくければ、2分の1で割ることは2をかけることと同じだと思い出しましょう。つまり、2を分数 $\frac{4}{120}$ で割ることは、2に逆数の $\frac{120}{4}$ をかけることと同じです。あとは分数を計算すれば、答えが出ます。

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

調和平均は60になり、正しい結果が得られました。

調和平均の一般の公式

n 個の数 x₁, x₂, …, x_n があるとき、その調和平均 H は次の式で求めます。

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

和の記号シグマを使えば、調和平均は次のようにも書けます。

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

例えば、四つの値1、2、3、4の調和平均は次のとおりです。

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1.92\end{array}$$