Media armonica

La media armonica è uno dei tipi di media che usiamo tipicamente quando lavoriamo con dei rapporti.

Velocità media

Come esempio, immaginiamo di essere andati in gita in treno e che la velocità media del treno sia stata di 120 km/h. Al ritorno abbiamo preso di nuovo il treno, sullo stesso percorso, ma questa volta il treno era lentissimo e andava solo a 40 km/h. Qual è stata la velocità media del treno nell’intero viaggio di andata e ritorno? È piuttosto allettante calcolare la velocità media con la media aritmetica così

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

e dire che la velocità media è stata di 80 km/h. Ma non è vero. Possiamo mostrarlo facilmente: supponiamo che all’andata il treno abbia viaggiato per un’ora. Poiché andava alla velocità media di 120 km/h, in quell’ora ha percorso esattamente 120 km. Se al ritorno andava alla velocità media di 40 km/h, ha dovuto percorrere 120 km in 3 ore. In tutto il treno ha quindi percorso 240 km in 4 ore. Da qui possiamo calcolare la velocità media

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

La media aritmetica ci ha quindi deluso. In che modo dovremmo calcolare la media delle due velocità 120 e 40 per ottenere il risultato corretto?

Media armonica

Al posto della media aritmetica possiamo usare la media armonica. La calcoliamo costruendo una frazione che ha al numeratore il numero di elementi di cui calcoliamo la media – nel nostro caso 2, perché abbiamo due velocità:

$$\frac{2}{?}$$

E al denominatore mettiamo la somma dei reciproci di entrambe le velocità. Se abbiamo la velocità 120, il suo reciproco è 120⁻¹, cioè $\frac{1}{120}$. Otteniamo la frazione

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Riduciamo allo stesso denominatore le frazioni che stanno al denominatore:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

E ora possiamo sommare facilmente le frazioni:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Questa frazione sembra strana, ma alla fine tutto torna, non preoccuparti. Trasformiamo la frazione in un prodotto così:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Se questo passaggio ti ha confuso, ricorda che dividere per un mezzo equivale a moltiplicare per due. Quindi dividere 2 per la frazione $\frac{4}{120}$ equivale a moltiplicare 2 per la frazione reciproca $\frac{120}{4}$. Ora basta semplificare un po’ la frazione e otteniamo il nostro risultato:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

La media armonica è risultata 60, che è il risultato corretto.

Formula generale della media armonica

Siano dati n numeri x₁, x₂, …, x_n. Allora la loro media armonica H si calcola come

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Se ti piace la notazione con le sommatorie, possiamo scrivere la media armonica anche così:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Per esempio, la media armonica dei quattro valori 1, 2, 3, 4 è

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$