Media armónica

La media armónica es uno de los tipos de media que usamos normalmente cuando trabajamos con razones.

Velocidad media

Como ejemplo, imaginemos que hemos ido de excursión en tren y que la velocidad media del tren fue de 120 km/h. En el viaje de vuelta hemos ido otra vez en tren, por la misma ruta, pero esta vez el tren iba muy despacio, a solo 40 km/h. ¿Cuál fue la velocidad media del tren en todo el viaje de ida y vuelta? Resulta bastante tentador calcular la velocidad media con la media aritmética así

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

y decir que la velocidad media fue de 80 km/h. Pero eso no es verdad. Podemos mostrarlo fácilmente: supongamos que el tren viajó en el trayecto de ida durante una hora. Como iba a una velocidad media de 120 km/h, eso significa que en esa hora recorrió exactamente 120 km. Si en el viaje de vuelta iba a una velocidad media de 40 km/h, tuvo que recorrer 120 km en 3 horas. En total, pues, el tren recorrió 240 km en 4 horas. De ahí podemos calcular la velocidad media

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

La media aritmética nos ha decepcionado, pues. ¿De qué manera tendríamos que calcular la media de las dos velocidades 120 y 40 para que nos saliera el resultado correcto?

Media armónica

En lugar de la media aritmética podemos usar la media armónica. La calculamos construyendo una fracción cuyo numerador es el número de elementos de los que calculamos la media —en nuestro caso 2, porque tenemos dos velocidades—:

$$\frac{2}{?}$$

Y en el denominador ponemos la suma de los inversos de ambas velocidades. Si tenemos la velocidad 120, su inverso es 120⁻¹, que es $\frac{1}{120}$. Obtenemos la fracción

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Reducimos las fracciones del denominador a común denominador:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Y ahora podemos sumar fácilmente las fracciones:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Esta fracción parece rara, pero saldrá bien, no te preocupes. Transformamos la fracción en un producto así:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Si esta transformación te ha confundido, recuerda que dividir entre un medio es lo mismo que multiplicar por dos. Es decir, dividir el dos entre la fracción $\frac{4}{120}$ es lo mismo que multiplicar el dos por la fracción inversa $\frac{120}{4}$. Ahora solo tenemos que simplificar un poco la fracción y obtenemos nuestro resultado:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

La media armónica nos ha salido 60, que es el resultado correcto.

Fórmula general de la media armónica

Sean n números x₁, x₂, …, x_n. Entonces su media armónica H se calcula como

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Si te gusta la notación con sumatorios, podemos escribir la media armónica también así:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Como ejemplo, la media armónica de los cuatro valores 1, 2, 3, 4 es

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$