Средно хармонично

Средното хармонично е един от видовете средни стойности, които използваме обикновено, когато работим с някакви отношения.

Средна скорост

За пример нека си представим, че сме отишли на екскурзия с влак и средната скорост на влака е била 120 km/h. На връщане сме пътували отново с влак, по същия маршрут, но този път влакът се е влачил и е вървял само 40 km/h. Каква е била средната скорост на влака за целия път на отиване и връщане? Доста примамливо е да изчислим средната скорост със средното аритметично така

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

и да кажем, че средната скорост е била 80 km/h. Само че това не е вярно. Можем лесно да го покажем: да речем, че влакът е пътувал на отиване един час. Тъй като е вървял със средна скорост 120 km/h, това означава, че за този час е изминал точно 120 km. Ако на връщане е вървял със средна скорост 40 km/h, е трябвало да измине 120 km за 3 часа. Общо влакът е изминал 240 km за 4 часа. От това можем да изчислим средната скорост

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Средното аритметично ни разочарова. По какъв начин трябва да изчислим средната стойност на двете скорости 120 и 40, за да получим верния резултат?

Средно хармонично

Вместо средното аритметично можем да използваме средното хармонично. Изчисляваме го, като съставим дроб, в чийто числител е броят на елементите, от които изчисляваме средната стойност — в нашия случай 2, защото имаме две скорости:

$$\frac{2}{?}$$

А в знаменателя слагаме сбора на реципрочните стойности на двете скорости. Ако имаме скорост 120, нейната реципрочна стойност е 120⁻¹, което е $\frac{1}{120}$. Получаваме дробта

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Дробите в знаменателя привеждаме към общ знаменател:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

И сега можем лесно да съберем дробите:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Тази дроб изглежда странно, но всичко ще излезе добре, не се притеснявай. Дробта преобразуваме във вид на произведение така:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Ако тази стъпка те е объркала, помни, че когато делим на една втора, това е същото като да умножаваме по две. Така когато делим числото 2 на дробта $\frac{4}{120}$, това е същото като да умножим 2 по обратната дроб $\frac{120}{4}$. Сега само малко опростяваме дробта и получаваме нашия резултат:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Средното хармонично ни излезе 60, което е верният резултат.

Обща формула за средно хармонично

Нека имаме n числа x₁, x₂, …, x_n. Тогава тяхното средно хармонично H изчисляваме като

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Ако обичаш записа със суми, можем да запишем средното хармонично и така:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Например средното хармонично на четири стойности 1, 2, 3, 4 е

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$