Harmonik Ortalama

Harmonik ortalama, ortalama türlerinden biridir ve genellikle oranlarla çalıştığımız durumlarda kullanırız.

Ortalama hız

Örnek olarak trenle bir geziye gittiğimizi düşünelim; trenin ortalama hızı 120 km/sa olsun. Dönüşte yine trenle, aynı güzergâhtan geldik, ama bu sefer tren ağır ağır ilerledi ve yalnızca 40 km/sa hızla gitti. Trenin gidiş ve dönüşü birlikte alındığında bütün yolculuktaki ortalama hızı neydi? Ortalama hızı aritmetik ortalama ile şöyle hesaplamak oldukça cazip görünür

$$\frac{120\text{km}/\text{sa}+40\text{km}/\text{sa}}{2}=80\text{km}/\text{sa}$$

ve ortalama hızın 80 km/sa olduğunu söyleyebiliriz. Ama bu doğru değil. Bunu kolayca gösterebiliriz: diyelim ki tren gidişte bir saat yol aldı. Ortalama hızı 120 km/sa olduğuna göre, bu bir saatte tam 120 km gitmiş demektir. Dönüşte ortalama hızı 40 km/sa ise, aynı 120 km’yi 3 saatte gitmiş olmalı. Yani tren toplam 240 km’yi 4 saatte aldı. Buradan ortalama hızı hesaplayabiliriz

$$\frac{240\text{km}}{4\text{sa}}=60\text{km}/\text{sa}$$

Demek ki aritmetik ortalama bizi yanılttı. 120 ve 40 değerindeki iki hızın ortalamasını doğru sonuç çıkacak şekilde nasıl hesaplamamız gerekirdi?

Harmonik ortalama

Aritmetik ortalama yerine harmonik ortalamayı kullanabiliriz. Bunu şöyle hesaplarız: paya ortalamasını aldığımız değerlerin sayısını yazdığımız bir kesir kurarız — bizim örneğimizde iki hız olduğu için 2:

$$\frac{2}{?}$$

Paydaya ise iki hızın çarpmaya göre terslerinin toplamını yazarız. Hız 120 ise, bunun çarpmaya göre tersi 120⁻¹, yani $\frac{1}{120}$’dir. Şu kesri elde ederiz

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Paydadaki kesirleri ortak paydaya getiririz:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Şimdi kesirleri kolayca toplayabiliriz:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Bu kesir tuhaf görünüyor, ama sonunda işler yoluna girecek, merak etme. Kesri şu şekilde çarpım biçimine getiririz:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Bu düzenleme kafanı karıştırdıysa, yarıma bölmenin ikiyle çarpmakla aynı şey olduğunu hatırla. Yani 2’yi $\frac{4}{120}$ kesrine böldüğümüzde, bu 2’yi tersi olan $\frac{120}{4}$ kesriyle çarpmakla aynıdır. Şimdi kesri biraz sadeleştirirsek sonucumuzu buluruz:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Harmonik ortalama 60 çıktı ve bu doğru sonuçtur.

Harmonik ortalama için genel formül

n tane x₁, x₂, …, x_n sayısı olsun. Bunların harmonik ortalaması H’yi şöyle hesaplarız

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Toplam sembolüyle yazmayı seviyorsan, harmonik ortalamayı şöyle de yazabiliriz:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Örnek olarak 1, 2, 3 ve 4 değerlerinin harmonik ortalaması şöyledir:

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$