Harmoniskt medelvärde

Det harmoniska medelvärdet är ett av flera slags medelvärden. Vi använder det typiskt när vi arbetar med förhållanden av något slag.

Medelhastighet

Låt oss föreställa oss att vi har åkt tåg på en utflykt och att tågets medelhastighet var 120 km/h. På hemvägen åkte vi tåg igen, samma sträcka, men den här gången släpade tåget sig fram och höll bara 40 km/h. Vad var tågets medelhastighet under hela resan fram och tillbaka tillsammans? Det är ganska frestande att räkna ut medelhastigheten med hjälp av det aritmetiska medelvärdet, så här

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

och säga att medelhastigheten var 80 km/h. Men det stämmer inte. Vi kan lätt visa det: säg att tåget åkte i en timme på vägen dit. Eftersom medelhastigheten var 120 km/h betyder det att tåget hann åka exakt 120 km på den timmen. Om tåget på vägen tillbaka höll medelhastigheten 40 km/h måste det ha behövt 3 timmar för att färdas 120 km. Sammanlagt åkte tåget alltså 240 km på 4 timmar. Av det kan vi räkna ut medelhastigheten

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Det aritmetiska medelvärdet svek oss alltså. Hur måste vi beräkna medelvärdet av de två hastigheterna 120 och 40 för att få rätt resultat?

Harmoniskt medelvärde

I stället för det aritmetiska medelvärdet kan vi använda det harmoniska. Det beräknar vi genom att bilda ett bråk där täljaren är antalet värden som vi tar medelvärdet av — i vårt fall 2, eftersom vi har två hastigheter:

$$\frac{2}{?}$$

I nämnaren sätter vi summan av båda hastigheternas inverterade värden. Om hastigheten är 120 är dess inverterade värde 120⁻¹, alltså $\frac{1}{120}$. Vi får bråket

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Bråken i nämnaren förlänger vi till gemensam nämnare:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Nu kan vi enkelt addera bråken:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Det här bråket ser konstigt ut, men det ordnar sig, oroa dig inte. Vi skriver om bråket som en produkt så här:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Om den här omskrivningen förvirrade dig, tänk på att när vi dividerar med en halv är det detsamma som att multiplicera med två. När vi dividerade tvåan med bråket $\frac{4}{120}$ är det alltså detsamma som att multiplicera tvåan med det inverterade bråket $\frac{120}{4}$. Nu förenklar vi bråket lite till och får vårt resultat:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Det harmoniska medelvärdet blev 60, vilket är rätt resultat.

Allmän formel för det harmoniska medelvärdet

Låt oss ta n tal x₁, x₂, …, x_n. Då beräknar vi deras harmoniska medelvärde H som

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Om du gillar skrivsättet med summor kan vi skriva det harmoniska medelvärdet även så här:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Till exempel är det harmoniska medelvärdet av de fyra värdena 1, 2, 3, 4

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$