Αρμονικός μέσος

Ο αρμονικός μέσος είναι ένα από τα είδη μέσων που χρησιμοποιούμε συνήθως όταν δουλεύουμε με λόγους.

Μέση ταχύτητα

Ας φανταστούμε ότι πήγαμε εκδρομή με το τρένο και η μέση ταχύτητα του τρένου ήταν 120 km/h. Στην επιστροφή ταξιδέψαμε πάλι με το τρένο, από την ίδια διαδρομή, αλλά αυτή τη φορά το τρένο πήγαινε αργά και έτρεχε μόνο 40 km/h. Ποια ήταν η μέση ταχύτητα του τρένου σε ολόκληρη τη διαδρομή, μετάβαση και επιστροφή μαζί; Είναι αρκετά δελεαστικό να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα με τον αριθμητικό μέσο ως εξής

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

και να πούμε ότι η μέση ταχύτητα ήταν 80 km/h. Αυτό όμως δεν ισχύει. Μπορούμε εύκολα να το δείξουμε: ας υποθέσουμε ότι το τρένο ταξίδευε στη διαδρομή της μετάβασης μία ώρα. Αφού έτρεχε με μέση ταχύτητα 120 km/h, σημαίνει ότι σε αυτή την ώρα διήνυσε ακριβώς 120 km. Αν στην επιστροφή έτρεχε με μέση ταχύτητα 40 km/h, έπρεπε να διανύσει τα 120 km σε 3 ώρες. Συνολικά λοιπόν το τρένο διήνυσε 240 km σε 4 ώρες. Από αυτά μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Ο αριθμητικός μέσος λοιπόν μας απογοήτευσε. Με ποιον τρόπο θα έπρεπε να υπολογίσουμε τον μέσο των δύο ταχυτήτων 120 και 40, ώστε να βγει το σωστό αποτέλεσμα;

Αρμονικός μέσος

Αντί για τον αριθμητικό μέσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον αρμονικό μέσο. Τον υπολογίζουμε κατασκευάζοντας ένα κλάσμα, που στον αριθμητή του θα έχει το πλήθος των στοιχείων από τα οποία υπολογίζουμε τον μέσο – στην περίπτωσή μας 2, επειδή έχουμε δύο ταχύτητες:

$$\frac{2}{?}$$

Και στον παρονομαστή βάζουμε το άθροισμα των αντίστροφων τιμών των δύο ταχυτήτων. Αν έχουμε ταχύτητα 120, ο αντίστροφός της είναι 120⁻¹, δηλαδή $\frac{1}{120}$. Παίρνουμε το κλάσμα

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Τα κλάσματα στον παρονομαστή τα κάνουμε ομώνυμα, με κοινό παρονομαστή:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Και τώρα μπορούμε εύκολα να προσθέσουμε τα κλάσματα:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Αυτό το κλάσμα μοιάζει παράξενο, αλλά θα βγει καλά, μην ανησυχείς. Το κλάσμα το μετατρέπουμε σε γινόμενο ως εξής:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Αν αυτή η μετατροπή σε μπέρδεψε, σκέψου ότι όταν διαιρούμε με το ένα δεύτερο, είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζουμε με το δύο. Δηλαδή όταν διαιρέσαμε το δύο με το κλάσμα $\frac{4}{120}$, είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάσουμε το δύο με το αντίστροφο κλάσμα $\frac{120}{4}$. Τώρα απλοποιούμε λίγο το κλάσμα και παίρνουμε το αποτέλεσμά μας:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Ο αρμονικός μέσος μάς βγήκε 60, που είναι το σωστό αποτέλεσμα.

Γενικός τύπος για τον αρμονικό μέσο

Έστω n αριθμοί x₁, x₂, …, x_n. Τότε τον αρμονικό τους μέσο H τον υπολογίζουμε ως

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Αν σου αρέσει ο συμβολισμός με άθροισμα, μπορούμε να γράψουμε τον αρμονικό μέσο και έτσι:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Για παράδειγμα, ο αρμονικός μέσος των τεσσάρων τιμών 1, 2, 3, 4 είναι

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$