Harmonisk gennemsnit

Det harmoniske gennemsnit er en af de typer gennemsnit, som vi typisk bruger, når vi arbejder med forhold.

Gennemsnitsfart

Forestil dig for eksempel, at vi tog toget på en udflugt, og at togets gennemsnitsfart var 120 km/t. På vejen tilbage tog vi igen toget, samme rute, men denne gang sneglede toget sig afsted og kørte kun 40 km/t. Hvad var togets gennemsnitsfart på hele turen frem og tilbage tilsammen? Det er ret fristende at beregne gennemsnitsfarten med det aritmetiske gennemsnit sådan her

$$\frac{120\text{km}/\text{t}+40\text{km}/\text{t}}{2}=80\text{km}/\text{t}$$

og sige, at gennemsnitsfarten var 80 km/t. Men det er ikke rigtigt. Det kan vi nemt vise: lad os sige, at toget kørte en time på vejen frem. Fordi det kørte med en gennemsnitsfart på 120 km/t, betyder det, at det på den time kørte præcis 120 km. Hvis det på vejen tilbage kørte med en gennemsnitsfart på 40 km/t, måtte det bruge 3 timer på de 120 km. I alt kørte toget altså 240 km på 4 timer. Heraf kan vi beregne gennemsnitsfarten

$$\frac{240\text{km}}{4\text{t}}=60\text{km}/\text{t}$$

Det aritmetiske gennemsnit svigtede os altså. Hvordan skulle vi beregne gennemsnittet af de to farter 120 og 40, for at vi fik det rigtige resultat?

Harmonisk gennemsnit

I stedet for det aritmetiske gennemsnit kan vi bruge det harmoniske gennemsnit. Det beregner vi ved at danne en brøk, hvor tælleren er antallet af elementer, vi beregner gennemsnittet af — i vores tilfælde 2, fordi vi har to farter:

$$\frac{2}{?}$$

Og i nævneren sætter vi summen af de reciprokke værdier af begge farter. Hvis vi har farten 120, er dens reciprokke værdi 120⁻¹, altså $\frac{1}{120}$. Vi får brøken

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Brøkerne i nævneren forlænger vi til en fælles nævner:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Og nu kan vi nemt lægge brøkerne sammen:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Den brøk ser mærkelig ud, men det ender godt, bare rolig. Vi omskriver brøken til et produkt sådan her:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Hvis den omskrivning forvirrede dig, så husk, at når vi dividerer med en halv, er det det samme, som når vi ganger med to. Når vi altså dividerede to med brøken $\frac{4}{120}$, er det det samme som at gange to med den omvendte brøk $\frac{120}{4}$. Nu skal vi bare lige reducere brøken lidt, så får vi vores resultat:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Det harmoniske gennemsnit blev 60, og det er det rigtige resultat.

Generel formel for det harmoniske gennemsnit

Lad der være givet n tal x₁, x₂, …, x_n. Så beregner vi deres harmoniske gennemsnit H som

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Hvis du kan lide at skrive med summer, kan vi skrive det harmoniske gennemsnit også sådan her:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Som eksempel er det harmoniske gennemsnit af fire værdier 1, 2, 3, 4

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$