Harmonikus közép

A harmonikus közép az átlagok egyik fajtája, amelyet jellemzően akkor használunk, ha valamilyen arányokkal dolgozunk.

Átlagsebesség

Képzeljük el, hogy vonattal kirándulni mentünk, és a vonat átlagsebessége 120 km/h volt. Visszafelé ugyanazon az útvonalon szintén vonattal jöttünk, de ezúttal a vonat csak vánszorgott, és mindössze 40 km/h-val haladt. Mekkora volt a vonat átlagsebessége az egész úton, oda-vissza együtt? Elég csábító a számtani közép segítségével kiszámolni az átlagsebességet így:

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

és azt mondani, hogy az átlagsebesség 80 km/h volt. Ez azonban nem igaz. Könnyen megmutathatjuk: tegyük fel, hogy a vonat az odaúton egy óráig ment. Mivel átlagosan 120 km/h-val haladt, ez azt jelenti, hogy az egy óra alatt pontosan 120 km-t tett meg. Ha visszafelé átlagosan 40 km/h-val ment, akkor a 120 km-t 3 óra alatt tette meg. Összesen tehát a vonat 240 km-t tett meg 4 óra alatt. Ebből ki tudjuk számolni az átlagsebességet:

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

A számtani közép tehát cserbenhagyott minket. Hogyan kellene kiszámolnunk a 120 és 40 sebesség átlagát ahhoz, hogy a helyes eredményt kapjuk?

Harmonikus közép

A számtani közép helyett használhatjuk a harmonikus közepet. Úgy számoljuk ki, hogy felírunk egy törtet, amelynek a számlálójában azoknak az elemeknek a száma áll, amelyeknek az átlagát számoljuk – esetünkben 2, mert két sebességünk van:

$$\frac{2}{?}$$

A nevezőbe pedig a két sebesség reciprokainak összegét írjuk. Ha a sebesség 120, akkor a reciproka 120⁻¹, vagyis $\frac{1}{120}$. A következő törtet kapjuk:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

A nevezőben lévő törteket közös nevezőre hozzuk:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Most már könnyen összeadhatjuk a törteket:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Ez a tört furcsán néz ki, de jó vége lesz, ne félj. A törtet szorzattá alakítjuk át így:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Ha ez az átalakítás összezavart, gondold végig, hogy a féllel osztás ugyanaz, mint a kettővel szorzás. Tehát amikor a kettőt a $\frac{4}{120}$ törttel osztottuk, az ugyanaz, mintha a kettőt a reciprok törttel, vagyis a $\frac{120}{4}$ törttel szoroznánk. Most már csak egyszerűen átalakítjuk a törtet, és megkapjuk az eredményünket:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

A harmonikus közép 60-nak adódott, ami a helyes eredmény.

A harmonikus közép általános képlete

Legyen adott n szám: x₁, x₂, …, x_n. Ekkor a harmonikus közepüket, H-t így számoljuk ki:

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Ha szereted az összegjeles felírást, a harmonikus közepet így is megadhatjuk:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Például az 1, 2, 3, 4 négy érték harmonikus közepe:

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$